"Математика", Дорофеев Г.В., Шарыгин И.Ф., Суворова С.Б. и др. / Под ред. Дорофеева Г.В., Шарыгина И.Ф.
Отношение двух чисел — это частное от деления одного числа на другое. Оно помогает сравнивать величины и узнавать, во сколько раз одна из них больше или меньше другой. Отношение записывают с помощью двоеточия или дроби: a:b = a/b, если b ≠ 0. Нужно различать первый и второй члены отношения, правильно находить его значение и понимать, как меняется смысл при перестановке чисел.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Отношение двух чисел — это частное от деления одного числа на другое. Его записывают так: a:b = a/b при b ≠ 0. Такая запись нужна, чтобы сравнивать числа не вычитанием, а делением.
Члены отношения — числа, записанные по обе стороны двоеточия. Первое число называют предыдущим, или первым, членом, а второе — последующим, или вторым. Порядок здесь не случайный: он показывает, какую величину сравнивают с какой.
Значение отношения — частное, полученное при делении первого члена на второй. Например, значение отношения 18:6 равно 3, потому что 18 : 6 = 3. По этому числу можно понять результат сравнения величин.
Обратное отношение получают перестановкой членов исходного отношения: для a:b обратным будет b:a. Если исходное значение равно c, то значение обратного отношения равно 1/c, когда c ≠ 0. Например, для 12:4 значение равно 3, а для 4:12 — 1/3.
Отношение определяют как частное, потому что деление показывает, сколько раз одна величина содержится в другой. Если 20 конфет разделить на группы по 5 конфет, получится 4 группы, поэтому отношение 20 к 5 равно 4. Так значение отношения превращает сравнение в конкретное число.
Одну и ту же величину можно записать двоеточием или дробью: 15:3 и 15/3 означают одно и то же деление. Двоеточие удобно использовать в короткой записи отношения, а дробь помогает увидеть делимое и делитель. При вычислении можно выбрать любую форму, не меняя значения.
Чтобы определить первый и второй члены, нужно посмотреть на порядок записи слева направо. В отношении 8:2 число 8 — первый член, а число 2 — второй, поэтому делят именно 8 на 2. Если в условии сказано «девочек к мальчикам», сначала записывают число девочек, затем число мальчиков.
Значение отношения находят обычным делением первого члена на второй. Второе число не может быть нулём, потому что деление на ноль не определено: нельзя найти число, которое при умножении на ноль даст ненулевое делимое. Поэтому в записи a:b обязательно b ≠ 0.
Для положительных величин значение отношения показывает, во сколько раз первая величина больше второй, если результат больше 1, или какую часть второй составляет первая, если результат меньше 1. Например, 18:6 = 3 означает, что 18 в 3 раза больше 6, а 6:18 = 1/3 показывает обратное сравнение. При перестановке членов меняется и вопрос сравнения, и само значение.
| Что рассматриваем | Как записываем | Что означает |
|---|---|---|
| Отношение чисел a и b | a:b или a/b | Частное от деления a на b |
| Первый и второй члены отношения | a и b в записи a:b | Первый член делят на второй |
| Значение отношения | a:b = c | Частное, полученное при делении a на b |
| Обратное отношение | b:a | Отношение с переставленными членами |
| Ограничение на второй член | b ≠ 0 | На ноль делить нельзя |
Сначала найдите в таблице вид записи, который встретился в задаче, а затем проверьте порядок чисел. Для вычисления отношения используйте деление первого члена на второй. Строка об обратном отношении помогает не забыть, что перестановка чисел меняет смысл сравнения.
Задача 1. Найти значение отношения 18:6 и записать ответ.
Ответ: значение отношения равно 3.
Задача 2. Сравнить отношения 12:4 и 15:5.
Ответ: 12:4 = 15:5.
Задача 3. В классе 12 девочек и 8 мальчиков. Найти отношение числа девочек к числу мальчиков и обратное отношение.
Ответ: отношение девочек к мальчикам — 12:8 = 3/2; обратное отношение — 8:12 = 2/3.
Путают порядок членов. Записывают b:a вместо a:b, потому что не учитывают смысл слов «к» и «по сравнению с». Проверьте себя вопросом: какое число названо первым в условии?
Считают a:b отдельным действием. Иногда забывают, что двоеточие означает деление, и не связывают эту запись с дробью a/b. Замените двоеточие чертой дроби: если делимое и делитель не изменились, запись понята верно.
Делят на ноль. Ошибка появляется, когда второй член принимают за обычное число, не проверив ограничение. Перед вычислением убедитесь, что второй член не равен нулю.
Понимают значение как разность. Например, из отношения 10:2 ошибочно получают 8, хотя отношение связано с делением и равно 5. Проверьте действие: значение должно быть результатом деления первого члена на второй.
До изучения отношения нужно уметь делить натуральные, целые и дробные числа, понимать запись дроби и соблюдать порядок действий. Эти навыки позволяют без ошибок находить значение отношения и преобразовывать запись a:b в a/b.
Отношения понадобятся при изучении пропорций, масштаба, процентов и скоростей. Они также помогают решать задачи, где нужно сравнить две величины или определить, во сколько раз одна из них отличается от другой.
Чем отношение отличается от обычного деления?
По вычислению отношение не отличается от деления: запись a:b означает частное a/b. Но слово «отношение» подчёркивает сравнение двух величин и порядок, в котором они записаны.
Можно ли поменять местами числа в отношении?
Можно записать отношение в обратном порядке, но это будет уже другое отношение. Его значение обычно изменится: например, 12:4 = 3, а 4:12 = 1/3.
Почему второй член отношения не может быть равен нулю?
Второй член является делителем. Делить на ноль нельзя, поэтому отношение a:0 не имеет значения.
Что означает значение отношения в текстовой задаче?
Оно показывает результат сравнения двух величин делением. Например, значение 3 может означать, что первая величина в 3 раза больше второй.
Как записать обратное отношение?
Нужно поменять местами первый и второй члены исходного отношения. Для a:b обратным будет b:a, если b и a не равны нулю.
6.1. Что такое отношение
