6.2. Деление в данном отношении

Определения и обозначения

Отношение двух чисел — это частное, показывающее связь между числами: запись a:b читают как отношение a к b. Ей соответствует дробь a/b, поэтому a:b = a/b. Отношение помогает сравнивать числа и описывать, во сколько раз одно из них больше или меньше другого.

Деление величины в данном отношении — это представление величины в виде частей, отношение которых равно заданному. Например, разделить число в отношении 2:3 значит получить две части, связанные именно так. Это нужно, когда величину требуется распределить не поровну, а по определённым долям.

Пропорциональные части — части, которые можно записать как ka и kb с одним и тем же числом k. Число k называют коэффициентом: оно показывает размер одной равной доли. Поэтому при отношении a:b части имеют одинаковую основу и отличаются только количеством долей.

Как это устроено

При отношении a:b число a задаёт количество равных долей в первой части, а b — во второй. Доли равны по размеру, иначе сравнение частей было бы нарушено. Например, отношение 2:3 означает две одинаковые доли в первой части и три такие же доли во второй.

Сначала складывают числа отношения: a + b. Эта сумма показывает, сколько всего равных долей содержится во всей величине, потому что в неё входят доли обеих частей. Если отношение равно 4:5, вся величина состоит из 4 + 5 = 9 долей.

Размер одной доли находят делением общей величины на сумму чисел отношения. Так мы узнаём, сколько приходится на одну одинаковую часть. Затем размер доли умножают на a для первой части и на b для второй, поскольку каждое число показывает количество долей.

Ответ проверяют двумя способами. Сложение найденных частей должно вернуть исходную величину, ведь все доли распределены между ними. Кроме того, отношение первой части ко второй должно совпасть с заданным, иначе числа долей распределили неправильно.

Иногда в условии дана не общая величина, а разность частей. Если части относятся как a:b и первая больше второй, то разность содержит a − b равных долей. Поэтому одну долю находят делением известной разности на a − b, а затем умножают её на оба числа отношения.

Как разделить величину в отношении a:b

В таблице S обозначает всю исходную величину. Двигайтесь по строкам сверху вниз: сначала определите число долей, затем размер одной доли и размеры частей. Последняя строка помогает убедиться, что вычисления не содержат ошибки.

Разбор задач

Задача 1. Конфеты

Разделим 25 конфет между двумя детьми в отношении 2:3. Первая часть должна содержать две доли, а вторая — три, поэтому всего конфеты образуют пять равных долей. Найдём размер доли и распределим конфеты.

1. Сложим числа отношения: 2 + 3 = 5 долей.
2. Найдём одну долю: 25:5 = 5 конфет.
3. Первая часть: 5 · 2 = 10 конфет, вторая часть: 5 · 3 = 15 конфет.
4. Проверим: 10 + 15 = 25, а 10:15 = 2:3.

Ответ: одному ребёнку достанется 10 конфет, другому — 15 конфет.

Задача 2. Отрезки

Общая длина двух отрезков равна 42 см, а их отношение — 4:3. Значит, первый отрезок состоит из четырёх долей, второй — из трёх, и вместе это семь равных долей. Сначала определим длину одной доли.

1. Найдём общее число долей: 4 + 3 = 7.
2. Длина одной доли равна 42:7 = 6 см.
3. Длина первого отрезка: 6 · 4 = 24 см.
4. Длина второго отрезка: 6 · 3 = 18 см.
5. Проверка: 24 + 18 = 42, а 24:18 = 4:3.

Ответ: длины отрезков равны 24 см и 18 см.

Задача 3. Разность частей

Две части числа относятся как 5:2, причём первая больше второй на 18. Сумма частей неизвестна, зато разность содержит разницу между их числами долей: 5 − 2 = 3. Значит, три равные доли составляют 18.

1. Найдём число долей в разности: 5 − 2 = 3.
2. Одна доля равна 18:3 = 6.
3. Первая часть: 6 · 5 = 30, вторая часть: 6 · 2 = 12.
4. Проверим разность: 30 − 12 = 18, а 30:12 = 5:2.

Ответ: части равны 30 и 12.

Типичные ошибки

Деление на одно число отношения. Иногда общую величину делят, например, только на 2, забывая о второй части. Так происходит потому, что одно число ошибочно принимают за общее число долей. Сложите числа отношения до первого деления.

Умножение всей величины на числа отношения. После нахождения суммы долей некоторые умножают исходную величину на a и b. Причина ошибки — пропуск шага с размером одной доли. Запишите отдельно промежуточный результат S:(a+b), а уже его умножайте.

Перестановка чисел отношения. Если числа 2 и 3 поменять местами, части тоже поменяются местами. Ошибку легко допустить, когда в условии части названы словами. Подпишите, какое число относится к первой части, а какое — ко второй.

Неверное понимание записи 2:3. Такое отношение не означает разность частей в 2 и 3 единицы. Оно показывает количество равных долей в каждой части. Проверьте себя: обе части должны делиться на один и тот же размер доли.

Связь с другими темами

Для решения задач нужны умения находить отношение чисел, делить величину на равные части и умножать число на натуральное число. Эти действия уже знакомы по предыдущим темам, а здесь они объединяются в общий способ распределения величины.

Деление в отношении связано с пропорциями и масштабом: оно помогает находить соответствующие размеры на карте или чертеже. Также этот способ применяют в задачах о смесях, длинах, деньгах и распределении предметов между несколькими участниками.

Что запомнить

• Числа отношения показывают, сколько равных долей приходится на каждую часть.
• Общее число долей равно сумме чисел отношения.
• Размер одной доли равен общей величине, делённой на сумму чисел отношения.
• Каждую часть находят умножением размера доли на соответствующее число отношения.
• Сумма найденных частей должна равняться исходной величине.
• Отношение найденных частей должно совпадать с заданным.