"Математика", Дорофеев Г.В., Шарыгин И.Ф., Суворова С.Б. и др. / Под ред. Дорофеева Г.В., Шарыгина И.Ф.
Если известна часть величины и процент, который она составляет, можно восстановить целое. Например, если 12 — это 30% числа, нужно понять, чему равны все 100%, а затем найти это значение. Для этого делят известную часть на процентную дробь или сначала находят 1%. Такой способ называют нахождением числа по его проценту. Он помогает решать задачи о массе, запасах, скидках и других величинах.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Процент — одна сотая часть целого; 1% = 1/100 = 0,01. Значит, целое можно мысленно разделить на 100 равных частей, и одна такая часть будет одним процентом. Это понятие нужно, чтобы сравнивать части величин одним способом: например, говорить, какую долю запаса или стоимости составляет число.
Процентная дробь — дробь, знаменатель которой равен 100; с её помощью процент записывают в виде дроби. Например, 25% записывается как 25/100, а 12% — как 12/100. Такая запись помогает выразить процент числом, с которым можно выполнять действия и составлять равенства.
Задача на нахождение числа по его проценту — задача, в которой известны значение части и соответствующий ей процент, а требуется найти целое. Если 12 составляет 30% неизвестного числа, то 12 — это часть, 30% — её доля от целого, а само число пока неизвестно. Такое обозначение помогает не перепутать известную часть с величиной, которую нужно найти.
Чтобы найти целое, сначала выясняют, какую долю целого составляет известная часть. Например, 25% — это 25/100, то есть четверть целого. Если известное значение соответствует этой четверти, целое должно быть в четыре раза больше; именно поэтому полезно сначала представить процент как дробь, а не работать только с числом процентов.
Пусть неизвестное целое обозначено x, известная часть — a, а её процент — p%. Тогда часть равна x · p/100, ведь умножение целого на дробь оставляет нужную долю от него. Поэтому составляют равенство x · p/100 = a. Чтобы найти x, делят обе части равенства на p/100 и получают формулу x = a : (p/100), или x = a · 100/p.
Тот же результат можно получить, сначала найдя 1%. Если p% величины составляют a, то на один процент приходится a : p. Целое составляет 100%, поэтому найденное значение одного процента умножают на 100: x = (a : p) · 100. Этот способ удобен, когда легко объяснить, что показывает каждый шаг: сначала находим одну сотую часть, затем собираем все сто таких частей.
Записать условие можно равенством или пропорцией. В пропорции a/x = p/100 сравнивают известную часть с целым и соответствующий ей процент со всеми 100 процентами. После решения нужно проверить смысл ответа: если найденное целое умножить на процентную дробь, снова должно получиться a. Такая проверка помогает заметить ошибку в вычислении или в выборе процента.
Процент можно заранее записать десятичной дробью: например, 12% = 0,12. Тогда формула принимает простой вид x = a : 0,12. Деление на эту дробь не означает, что часть стала больше целого: оно отвечает на вопрос, сколько таких долей содержится во всей величине. Важно переводить процент правильно, потому что 12 и 0,12 отличаются в сто раз.
Таблица показывает три записи одной и той же зависимости. Выбирай ту, которая понятнее для конкретной задачи: можно сразу разделить на процентную дробь, найти 1% или составить пропорцию. Обозначения a и p — известное значение и число процентов, а x — целое, которое требуется найти.
| Что известно | Способ решения | Запись |
|---|---|---|
| Известно значение a, соответствующее p% | Через процентную дробь | x = a : (p/100) |
| Известно значение a, соответствующее p% | Через нахождение 1% | x = (a : p) · 100 |
| Известно значение a, соответствующее p% | Через пропорцию | a/x = p/100 |
Задача 1. 12 составляет 30% некоторого числа. Найдите это число. Здесь известны часть, равная 12, и её доля — 30%, а требуется целое. Переведём процент в десятичную дробь, чтобы записать, чему равна часть неизвестного числа.
Ответ: 40. Проверка совпала с известным значением, значит, найдено именно такое число, от которого 12 составляет 30%. Обрати внимание: число 12 здесь не умножали на 0,3, потому что оно уже является процентной частью искомого целого.
Задача 2. 9 кг составляют 12% массы груза. Найдите массу всего груза. Искомое целое измеряется в килограммах, поэтому ответ тоже должен быть в килограммах. Известны 9 кг и процент, которому они соответствуют; для вычисления запишем 12% десятичной дробью.
Ответ: 75 кг. Деление показывает, сколько килограммов составляет всё целое, если 9 кг — только 12% от него. Проверка одновременно подтверждает вычисление и правильность выбранной величины.
Задача 3. После того как израсходовали 35% запаса топлива, осталось 26 л. Сколько литров топлива было сначала? Здесь известное число относится не к израсходованной части, а к остатку. Поэтому сперва нужно определить процент, который соответствует 26 л.
Ответ: 40 л. Остаток не равен 35%: это процент, который получился после вычитания израсходованной части из целого. Проверять нужно именно 65% найденного запаса, поскольку 26 л соответствуют остатку.
Первая ошибка — умножать известное значение на число процентов, когда требуется найти целое. Так находят процент от уже известного целого, а здесь известна только часть и нужно восстановить целое. Перед вычислением спроси себя, что дано: если дан процент от числа, используй умножение; если дана часть и надо найти число, дели часть на процентную дробь. В конце проверь, что нужный процент найденного числа равен исходному значению.
Вторая ошибка — записывать p% просто как p. Например, 12% — это не 12, а 12/100 = 0,12; пропуск деления на 100 изменяет результат в сто раз. Такая ошибка возникает, если воспринимать знак процента как украшение, а не как указание на сотые доли. Для самопроверки переведи процент отдельно и убедись, что 100% превращаются в 1.
Третья ошибка встречается в задачах об остатке: оставшееся значение принимают за израсходованный процент. Если потратили 35%, то оставшаяся часть составляет 100% − 35% = 65%, поэтому именно с 65% нужно связать остаток. Ошибка появляется, когда замечают число процентов, но не проверяют, к какой части величины оно относится. Нарисуй или мысленно представь целое как 100% и раздели его на израсходованное и оставшееся.
Четвёртая ошибка — не проверять ответ. При этом можно не заметить неверный перевод процента, ошибку в делении или неправильный выбор процента остатка. Проверка простая: умножь найденное целое на нужную процентную дробь и сравни результат с числом из условия. Если значения не совпали, вернись к записи условия и проверь каждый шаг.
Для решения этих задач нужно знать, что процент равен одной сотой, и уметь переводить проценты в обыкновенные и десятичные дроби. Пригодится умение составлять и решать уравнения вида ax = b, а также находить неизвестный член пропорции. Дальше тот же способ используют в задачах о скидках, налогах и изменении величин. Он также служит основой для процентных расчётов, которые встречаются в старших классах.
Как найти число, если известен процент от него?
Переведи процент в дробь: p% = p/100. Раздели известную часть a на эту дробь: x = a : (p/100), или умножь a на 100 и раздели на p.
Почему при поиске целого нужно делить на процентную дробь?
Процентная дробь показывает, какую долю от целого составляет известное число. Чтобы восстановить целое, нужно узнать, сколько таких долей помещается в известной части.
Как перевести 18% в десятичную дробь?
Раздели 18 на 100: 18% = 18/100 = 0,18. Запятая при этом сдвигается на два знака влево.
Как понять, какой процент использовать в задаче об остатке?
Определи, какая часть величины осталась. Если израсходовали 35%, то осталось 100% − 35% = 65%, и именно этот процент соответствует оставшемуся значению.
Как проверить, правильно ли найдено целое?
Найди нужный процент от полученного целого: умножь его на процентную дробь. Если результат равен известной части из условия, решение верное.
6.3. «Главная» задача на проценты
