8.2. Буквенные выражения и числовые подстановки

Определения и обозначения

Буквенное выражение — запись, в которой числа и знаки действий соединены с буквами, обозначающими числа. Например, 3a + 5 — буквенное выражение. В нём нет знака равенства, поэтому это не уравнение, а запись для вычислений.

Буква в выражении обозначает число, которое может принимать разные значения. Если в выражении 3a + 5 вместо a поставить 4, получится одно число, а при другом значении a результат может измениться. Благодаря буквам можно записывать вычисления, подходящие не для одного набора чисел.

Числовая подстановка — замена букв в выражении заданными числами. Например, при x = −2 букву x заменяют числом −2, записывая его в скобках: (−2). Скобки особенно помогают, когда отрицательное число участвует в возведении в степень или умножении.

Значение буквенного выражения — число, полученное после подстановки заданных значений букв и выполнения всех действий. Чтобы его найти, недостаточно просто заменить буквы: нужно ещё верно вычислить результат. Именно итоговое число и называют значением выражения.

Как это устроено

Буквы позволяют записывать вычисления в общем виде, потому что одно и то же правило может подходить к разным числам. Например, выражение 3a + 5 означает: выбранное число умножить на 3, а потом прибавить 5. При a = 1 получится один результат, а при a = 4 — другой. Такую запись удобно использовать, когда конкретное число пока не выбрано или когда нужно описать сразу много случаев.

Чтобы найти значение выражения, сначала заменяют буквы числами, а уже потом считают. Если начать вычислять, не выполнив подстановку, часть действий останется неопределённой. После замены действуют по знакомым правилам порядка действий: сначала выполняют действия в скобках и степени, затем умножение и деление, потом сложение и вычитание. Такой порядок нужен, чтобы разные люди получили один и тот же результат.

Отрицательное число при подстановке заключают в скобки, потому что оно заменяет букву целиком, включая знак минус. Без скобок запись может означать другое действие. Например, при x = −2 выражение x² превращается в (−2)² и равно 4, а запись −2² означает минус два в квадрате и равна −4. Скобки помогают не смешивать знак числа со знаком действия.

Если букв несколько, каждую заменяют её собственным заданным числом. Например, при a = −2 и b = 4 букву a нужно заменить на (−2), а b — на 4 во всех местах выражения. Это важно, потому что значения относятся к конкретным буквам: нельзя подставить число для b вместо a. Удобно перед вычислениями отдельно проверить, какое значение дано каждой букве.

Одна и та же буква в одном выражении обозначает одно и то же число. Поэтому при подстановке её заменяют одинаково во всех местах: если a = 3, то каждое вхождение a становится числом 3. Иначе выражение изменится по ходу вычисления, и ответ окажется неверным. Разные буквы, напротив, могут иметь разные значения.

Как находить значение буквенного выражения

Пользуйся таблицей как коротким планом вычислений. В примере к каждому этапу показано, что именно делать; свои буквы и числа нужно подставить в эту схему. В конце проверь, что ни одна буква не осталась незаменённой и порядок действий соблюдён.

Разбор задач

Задача 1. Найти значение выражения 3a + 5 при a = 4. Буква a обозначает число 4, поэтому вместо неё нужно поставить 4. В записи 3a умножение не пропускают: сначала умножают 3 на значение буквы, а затем прибавляют 5.

1. Заменяем a числом 4: 3 · 4 + 5.
2. Выполняем умножение: 12 + 5.
3. Складываем: 17.

Ответ: 17. Такой порядок выбран потому, что умножение выполняется раньше сложения.

Задача 2. Найти значение выражения 2x² − 3x при x = −2. Здесь отрицательное значение подставляется дважды: вместо x в квадрате и вместо x в произведении. Скобки показывают, что квадрат возводится от всего числа −2, а не только от цифры 2.

1. Подставляем x = −2: 2 · (−2)² − 3 · (−2).
2. Сначала вычисляем степень: (−2)² = 4. Получаем 2 · 4 − 3 · (−2).
3. Выполняем умножение: 8 − (−6).
4. Вычитание отрицательного числа заменяем сложением: 8 + 6 = 14.

Ответ: 14. Если забыть скобки при подстановке, можно неверно вычислить квадрат или потерять знак числа.

Задача 3. Найти значение выражения 2a + 3b − ab при a = −2 и b = 4. Значения относятся к разным буквам, поэтому каждую нужно заменить своим числом во всех местах. Перед вычислением проверяем, что a заменена на −2, а b — на 4.

1. Подставляем значения: 2 · (−2) + 3 · 4 − (−2) · 4.
2. Выполняем умножение: −4 + 12 − (−8).
3. Считаем слева направо: −4 + 12 = 8, затем 8 − (−8) = 16.

Ответ: 16. Сначала выполнены все умножения, а затем сложение и вычитание; отрицательное значение a сохранено в каждой подстановке.

Типичные ошибки

Если подставить отрицательное число без скобок, знак минус можно принять за знак действия, а не за часть числа. Так часто ошибаются в выражениях со степенью: −2² и (−2)² дают разные результаты. Проверяй себя: выпиши подстановку целиком и заключи каждое отрицательное значение в скобки.

Другая ошибка — выполнять сложение раньше умножения или степени. Обычно это происходит, когда считают выражение строго слева направо, не обращая внимания на порядок действий. Перед вычислением отметь, какие действия нужно выполнить первыми, а после сверь промежуточные результаты с исходной записью.

Иногда значения букв подставляют не в те места или заменяют одну букву разными числами. Это случается, если торопиться и не сопоставить каждую букву с её значением. Проверь себя: выпиши рядом a = …, b = … и проследи, чтобы каждое вхождение одной буквы получило одинаковую замену.

Буквенное выражение могут ошибочно принять за равенство или уравнение. Но если знака равенства нет, в записи пока нет утверждения о том, что две части равны; заданную букву просто используют как обозначение числа. Чтобы проверить себя, найди знак равенства: он может входить в уравнение, но не обязателен в буквенном выражении.

Связь с другими темами

Для вычисления значений выражений нужны знания о порядке арифметических действий, скобках и действиях с отрицательными числами. Если эти правила знакомы, подстановка букв превращается в обычное вычисление с числами. Буквенные выражения также используют при составлении формул и упрощении вычислений. Позже они помогут записывать условия задач и решать уравнения, в которых требуется найти неизвестное число.

Что запомнить

• Буква в выражении обозначает число.
• Числовая подстановка заменяет каждую букву заданным значением.
• Одну и ту же букву в выражении заменяют одним и тем же числом.
• Отрицательное подставляемое число записывают в скобках.
• После подстановки действия выполняют по правилам порядка действий.
• Результат вычисления называется значением буквенного выражения.