"Математика", Дорофеев Г.В., Шарыгин И.Ф., Суворова С.Б. и др. / Под ред. Дорофеева Г.В., Шарыгина И.Ф.
Формула — короткая запись зависимости между величинами: например, путь равен скорости, умноженной на время. Буквы в ней обозначают величины, а знаки действий показывают, как их связать. Поэтому одна формула подходит для разных задач: достаточно подставить подходящие данные и вычислить результат. Перед вычислением нужно выяснить смысл каждой буквы и согласовать единицы измерения. Если неизвестна нужная величина, формулу можно преобразовать, а ответ — проверить по смыслу и единицам.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Формула — равенство, с помощью которого одни величины выражаются через другие. Например, запись s = vt означает, что путь s равен скорости v, умноженной на время t. Буквы здесь обозначают величины, а знак равенства и знак умножения показывают, как они связаны. Формулы нужны, чтобы одинаковым способом решать задачи с разными исходными данными.
Буквенное выражение — запись, содержащая числа, буквы и знаки действий, например 4a + 3. Буква в такой записи может обозначать число, значение которого пока неизвестно или меняется. В числовом выражении букв нет, поэтому его можно вычислить сразу, а для буквенного сначала нужны значения букв. Это различие помогает понять, что именно можно вычислять в задаче.
Значение буквенного выражения — число, которое получается после подстановки заданных значений букв и выполнения действий. Например, при a = 2 выражение 4a + 3 принимает значение 4 · 2 + 3 = 11. Значение зависит от того, какие числа подставили. Поэтому при записи решения указывают данные, а затем аккуратно выполняют вычисления.
Вычисление по формуле — последовательность действий: подставить известные данные, выполнить вычисления и записать ответ с единицей измерения. Например, если формула связывает путь, скорость и время, сначала в неё подставляют скорость и время. Затем находят путь и указывают километры или другую подходящую единицу. Такой порядок не даёт забыть ни вычисление, ни смысл результата.
Формулу составляют, когда величины связаны в практической ситуации. Например, при равномерном движении за каждый час проходят одинаковое расстояние, поэтому весь путь можно найти умножением скорости на время: s = vt. Буквы позволяют записать эту зависимость сразу для многих случаев, а не перечислять отдельные примеры. Значения букв меняются, но связь между величинами остаётся прежней.
Перед вычислением нужно выяснить, что обозначает каждая буква и в каких единицах даны величины. Это нужно потому, что одна и та же буква в разных формулах может означать разное, а несогласованные единицы приводят к неверному ответу. Например, если скорость дана в километрах в час, время для формулы пути должно быть выражено в часах. Если время дано в минутах, его сначала переводят в часы или скорость переводят в километры в минуту.
Сначала буквы заменяют известными числами, а уже затем считают. Так сохраняется структура формулы и видно, какие действия нужно выполнить; скобки помогают обозначить подстановку целиком. Например, при P = 2(a + b), a = 5 и b = 3 записывают P = 2(5 + 3), а не меняют порядок действий. После подстановки считают по обычным правилам: сначала действия в скобках, затем умножение.
Если требуется величина, для которой данных не хватает в исходном виде, её удобно сначала выразить из формулы. Так меньше риск перепутать нужное действие и можно работать прямо с известными данными. Например, из s = vt скорость находят делением пути на время: v = s : t. Чтобы получить такую запись, обе части равенства делят на t.
После вычисления ответ проверяют не только повторным счётом. Приблизительная оценка показывает, разумно ли получилось число: путь автомобиля за несколько часов не должен быть меньше пути за минуту. Единица измерения тоже служит проверкой: площадь выражают в квадратных единицах, а объём — в кубических. Если число или единица не подходят смыслу задачи, нужно проверить подстановку и вычисления.
| Величина | Формула | Что обозначают буквы | Единицы измерения |
|---|---|---|---|
| Путь при равномерном движении | s = vt | s — путь, v — скорость, t — время | м, км; м/с, км/ч; с, ч |
| Скорость | v = s : t | v — скорость, s — путь, t — время | м/с, км/ч; м или км; с или ч |
| Время движения | t = s : v | t — время, s — путь, v — скорость | с или ч; м или км; м/с или км/ч |
| Периметр прямоугольника | P = 2(a + b) | P — периметр, a и b — стороны | см, м и другие единицы длины |
| Площадь прямоугольника | S = ab | S — площадь, a и b — стороны | см², м² и другие квадратные единицы |
| Объём прямоугольного параллелепипеда | V = abc | V — объём, a, b и c — измерения | см³, м³ и другие кубические единицы |
Сначала найдите в таблице нужную величину и проверьте, какие данные для неё известны. Затем убедитесь, что единицы согласованы и соответствуют формуле. Формулы площади и объёма применяют к разным величинам, поэтому важно не путать их обозначения и единицы ответа.
Скорость автомобиля равна 60 км/ч, а время движения — 3 ч; нужно найти расстояние. В формуле s = vt путь получается умножением скорости на время. Единицы согласованы: часы сокращаются со знаменателем «в час», и остаются километры.
Запишем формулу: s = vt. В ней s — путь, v — скорость, t — время. Это помогает не перепутать данные и нужную величину.
Подставим значения: s = 60 · 3. Числа записываем вместо соответствующих букв. Единицы при подстановке дают км/ч · ч.
Вычислим: s = 180 км. Проверим смысл: за три часа автомобиль проехал втрое больше, чем за один час. Ответ: 180 км.
Стороны прямоугольника равны 8,5 см и 4 см; нужно найти площадь. Для этого подходит формула S = ab, потому что площадь прямоугольника равна произведению его сторон. Обе стороны измерены в сантиметрах, поэтому ответ будет в квадратных сантиметрах.
Запишем формулу: S = ab. Здесь a = 8,5 см, b = 4 см. Перед вычислением проверяем, что обе длины выражены в одной единице.
Подставим данные: S = 8,5 · 4. Умножим 8,5 на 4 и получим 34. При умножении сантиметров на сантиметры единица становится квадратной.
Запишем ответ: S = 34 см². Площадь больше каждой стороны по числовому значению, что согласуется с размерами прямоугольника. Ответ: 34 см².
Периметр прямоугольника равен 34 см, сторона a равна 7 см; требуется найти сторону b. В формуле P = 2(a + b) неизвестная сторона находится внутри скобок, поэтому сначала выразим её через P и a. После преобразования подставим данные и проверим результат в исходной формуле.
Разделим обе части равенства P = 2(a + b) на 2: P : 2 = a + b. Затем вычтем a из обеих частей. Получим b = P : 2 − a.
Подставим P = 34 см и a = 7 см: b = 34 : 2 − 7. Сначала выполняем деление, затем вычитание. Получаем b = 17 − 7 = 10 см.
Проверим подстановкой: 2(7 + 10) = 2 · 17 = 34 см. Вычисленное значение возвращает заданный периметр. Ответ: сторона b равна 10 см.
Подстановка чисел без скобок может изменить порядок действий. Например, запись 2 · 7 + 3 вместо 2(7 + 3) даёт другой результат. Ошибку допускают, когда воспринимают подстановку как простую замену, не сохраняя структуру формулы; проверяйте, заменили ли вы каждую букву целиком.
Нельзя без проверки сочетать несовместимые единицы, например минуты и скорость в километрах в час. Из-за этого вычисление даст неверную величину, даже если арифметика выполнена правильно. Перед подстановкой посмотрите на единицы формулы и переведите данные к подходящим единицам. Например, 30 минут — это 0,5 часа.
Периметр, площадь и объём находят по разным формулам. Путаница приводит к неверным действиям или единицам: длина измеряется в сантиметрах, площадь — в квадратных сантиметрах, объём — в кубических. Ошибку легче заметить, если спросить себя, какую величину ищет задача и сколько измерений в ней участвует.
Результат нельзя принимать без проверки смысла. Отрицательная длина или ответ без единицы измерения обычно указывают на ошибку в вычислениях либо записи. Сравните число с примерной оценкой, проверьте подходящую единицу и, если возможно, подставьте результат обратно в формулу.
Для вычислений по формулам нужны навыки порядка действий, умножения и деления обыкновенных и десятичных дробей. Также нужно знать единицы измерения и уметь переводить их, например минуты в часы. Формула связана с буквенными выражениями: подстановка данных позволяет находить их значения. Если выразить неизвестную букву, формула помогает преобразовывать равенства, как при решении уравнений. Эти умения пригодятся в геометрии, задачах на движение, пропорциях, процентах и алгебраических преобразованиях.
Чем формула отличается от буквенного выражения?
Буквенное выражение содержит числа, буквы и знаки действий, например 3a + 2. Формула — это равенство, которое показывает связь величин, например s = vt. В формуле выражение приравнено к другой величине.
Можно ли подставлять в формулу числа с разными единицами измерения?
Только если эти единицы согласованы с формулой и друг с другом. Например, для s = vt скорость в километрах в час сочетают со временем в часах. Минуты сначала переводят в часы.
Почему при подстановке нескольких чисел нужно использовать скобки?
Скобки показывают, что число заменило букву целиком, и помогают сохранить порядок действий. Например, в формуле 2(a + b) нужно записать 2(7 + 3), а не 2 · 7 + 3.
Как найти неизвестную букву в формуле?
Нужно преобразовать равенство так, чтобы неизвестная буква осталась одна с одной стороны. Например, из P = 2(a + b) сначала получают P : 2 = a + b, а затем b = P : 2 − a. После этого подставляют известные данные.
Как понять, что полученный ответ верен?
Проверьте вычисления и подставьте найденное значение обратно в формулу. Убедитесь, что единица измерения подходит, а число имеет смысл в задаче. Можно также прикинуть результат заранее и сравнить его с ответом.
8.3. Формулы. Вычисления по формулам
