"Математика", Дорофеев Г.В., Шарыгин И.Ф., Суворова С.Б. и др. / Под ред. Дорофеева Г.В., Шарыгина И.Ф.
Окружность, круг и шар связаны с радиусом и диаметром, поэтому их размеры можно находить по формулам. Длина окружности показывает расстояние по её границе, площадь круга — размер плоской фигуры внутри окружности, а объём шара — место, которое он занимает в пространстве. Главную роль играет число π ≈ 3,14. Нужно различать радиус и диаметр, правильно выбирать формулу и записывать результат в единицах длины, площади или объёма.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Длина окружности — расстояние по её границе; её обозначают буквой C. Она показывает, какой путь получится, если пройти ровно по краю круглой фигуры. Эта величина нужна, например, чтобы узнать длину обода колеса или ленты вокруг круглой детали.
Площадь круга — площадь фигуры, ограниченной окружностью; её обозначают буквой S. Иными словами, это размер всей плоской области внутри границы. Площадь нужна, когда вычисляют, сколько материала потребуется для круглой детали или покрытия.
Объём шара — пространство, занимаемое шаром; его обозначают буквой V. Объём показывает, сколько места занимает тело в трёхмерном пространстве. Он помогает определить вместимость сферического предмета или количество вещества внутри него.
Число π — постоянное число, равное отношению длины окружности к её диаметру; обычно используют приближение 3,14. Какой бы ни была окружность, при делении C на d получается одно и то же число. Знак π позволяет записывать и вычислять формулы для окружности, круга и шара.
У всех окружностей отношение длины к диаметру одинаково, потому что окружности имеют одну и ту же форму и отличаются только размером. Если увеличить окружность в несколько раз, её диаметр увеличится во столько же раз. Поэтому отношение C : d не меняется и равно π, откуда получается формула C = πd.
Радиус — это половина диаметра, поэтому d = 2r. Подставим это равенство в формулу C = πd: получим C = π · 2r, то есть C = 2πr. Множитель 2 появляется не из отдельного правила, а из связи между диаметром и радиусом.
Площадь круга выражается формулой S = πr², потому что радиус задаёт масштаб сразу двух измерений плоской фигуры. Если радиус увеличить в 2 раза, каждая линейная сторона увеличится в 2 раза, а площадь — в 2 · 2 = 4 раза. Поэтому радиус возводят именно в квадрат, а число π остаётся множителем.
Объём шара выражается формулой V = 4⁄3πr³, потому что шар занимает пространство сразу по трём направлениям. При увеличении радиуса в 2 раза объём возрастает в 2 · 2 · 2 = 8 раз. Коэффициент 4⁄3 учитывает геометрическую форму шара и связывает его объём с кубом радиуса.
Формулу выбирают по тому, что требуется найти и какие данные известны. Для длины окружности используют C = 2πr, если дан радиус, или C = πd, если дан диаметр; для площади и объёма нужен радиус. Если известен диаметр, его сначала делят на 2, а затем проверяют единицы: длина, квадратные единицы для площади и кубические для объёма.
| Величина | Обозначение | Формула через радиус | Формула через диаметр | Единицы измерения |
|---|---|---|---|---|
| Радиус | r | r | d : 2 | см, м |
| Диаметр | d | 2r | d | см, м |
| Длина окружности | C | C = 2πr | C = πd | см, м |
| Площадь круга | S | S = πr² | S = π(d : 2)² | см², м² |
| Объём шара | V | V = 4⁄3πr³ | V = 4⁄3π(d : 2)³ | см³, м³ |
| Число π | π | π ≈ 3,14 | π ≈ 3,14 | без единиц |
Сначала найдите в условии известную величину: радиус или диаметр. Затем выберите строку с нужной величиной и подставьте данные в подходящую формулу.
В таблице формулы через диаметр для площади и объёма записаны с заменой d на d : 2. Это напоминает: перед вычислением можно отдельно найти радиус и использовать основную формулу.
Условие: найдите длину окружности радиуса 5 см, принимая π = 3,14. Известен радиус, поэтому берём формулу C = 2πr. Ответ должен быть выражен в сантиметрах.
Ответ: 31,4 см.
Условие: длина окружности равна 31,4 см, нужно найти её радиус и площадь круга. Сначала находим радиус из формулы длины окружности, потому что площадь вычисляется через радиус. Используем π = 3,14.
Ответ: радиус равен 5 см, площадь круга — 78,5 см².
Условие: диаметр шара равен 12 см, π = 3,14. Формула объёма содержит радиус, поэтому диаметр сначала нужно превратить в радиус. Только после этого можно возводить значение в куб.
Ответ: 904,32 см³.
Диаметр подставляют вместо радиуса в формулах S = πr² и V = 4⁄3πr³. Так происходит, если не заметить, что в формулах стоит именно r. Проверьте себя: если дан d, сначала запишите r = d : 2.
Иногда используют формулу C = πr вместо правильной C = 2πr. Ошибка появляется из-за забытых двух радиусов в диаметре. Для проверки сравните запись с формулой через диаметр: C = πd, а d = 2r.
Бывает, что площадь записывают в сантиметрах, а объём — в квадратных сантиметрах. Это неверно, потому что площадь измеряет два измерения, а объём — три. После вычислений спросите себя, что найдено: длина, площадь или объём.
Нельзя возводить в квадрат или куб всё выражение вместе с π. В формулах S = πr² и V = 4⁄3πr³ степень относится только к радиусу. Сначала вычислите r² или r³, а затем умножайте на π и остальные множители.
До этой темы нужно знать радиус, диаметр, окружность и круг, а также степени чисел. При решении задач пригодятся навыки перевода единиц длины и действий с дробями.
Формулы применяют в практических задачах: при вычислении размеров круглых деталей, площади круглых участков и объёма сферических предметов. Они помогают связать математические вычисления с измерениями реальных объектов.
Эта тема подготавливает к изучению площадей поверхностей и объёмов цилиндра, конуса и других тел. В новых формулах также будут использоваться радиус, степени и число π.
Чем окружность отличается от круга?
Окружность — это только граница фигуры, состоящая из точек, равноудалённых от центра. Круг включает окружность и всю область внутри неё.
Почему в формуле длины окружности появляется множитель 2?
Диаметр окружности состоит из двух радиусов: d = 2r. Поэтому при замене диаметра в формуле C = πd получаем C = 2πr.
Можно ли в формулах площади круга и объёма шара использовать диаметр?
Можно, но сначала диаметр нужно разделить на 2 и получить радиус. Формулы S = πr² и V = 4⁄3πr³ используют именно радиус.
Почему площадь зависит от квадрата радиуса, а объём — от его куба?
Площадь описывает плоскую фигуру, поэтому при увеличении радиуса учитываются два измерения: длина и ширина. Объём относится к пространству и учитывает три измерения.
Какую единицу измерения нужно записать в ответе?
Длину окружности записывают в единицах длины: см или м. Площадь указывают в квадратных единицах, например см², а объём — в кубических, например см³.
8.4. Формулы длины окружности, площади круга и объёма шара
