"Математика", Дорофеев Г.В., Шарыгин И.Ф., Суворова С.Б. и др. / Под ред. Дорофеева Г.В., Шарыгина И.Ф.
Числовая прямая помогает показать числа и сравнить их по расположению точек. Чтобы задать её, выбирают начало отсчёта, единичный отрезок и положительное направление. Началу соответствует 0, а расстояние от него измеряют выбранным единичным отрезком. Каждому числу соответствует точка, а каждой точке — координата. Если точка расположена правее другой, её координата больше.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Числовая прямая — это прямая, на которой выбраны начало отсчёта, единичный отрезок и положительное направление. Начало отсчёта показывает, откуда измерять, а единичный отрезок задаёт масштаб: его длина считается равной 1. Направление подсказывает, в какую сторону располагаются положительные числа, поэтому выбранные элементы помогают изображать числа точками.
Координата точки — число, которое сопоставляют точке на числовой прямой. Например, запись A(3) означает, что точке A соответствует число 3. Координату пишут рядом с обозначением точки в скобках, чтобы отличать название точки от числа, которое показывает её положение.
Координатный луч — часть числовой прямой, которая начинается в точке с координатой 0 и направлена в сторону положительных чисел. Он начинается в нуле и продолжается только в одну сторону, тогда как прямая продолжается в обе стороны. Луч удобен, когда изображают ноль и положительные числа.
Сначала на прямой выбирают точку начала отсчёта и называют её точкой 0. Затем задают единичный отрезок и положительное направление, обычно отмеченное стрелкой. Благодаря этому расстояние от нуля можно измерять одинаковыми шагами, а движение в выбранную сторону связывать с увеличением чисел. Так прямой ставят в соответствие числа, а числам — точки.
Чтобы отметить натуральное число, начинают от точки 0 и откладывают единичный отрезок нужное количество раз. Например, для числа 4 нужно сделать четыре одинаковых шага в положительном направлении. Каждый шаг равен единице, поэтому конечная точка получает координату 4. Если изменить длину единичного отрезка, точка окажется в другом месте на рисунке, но её число не изменится.
Положение точек помогает сравнивать числа: правее расположена точка большего числа. Это связано с тем, что при движении в положительном направлении координаты увеличиваются. Например, точка числа 6 находится правее точки числа 2, значит, 6 больше 2. Сравнивать нужно именно положение точек, а не то, насколько далеко они от нуля.
Число, которое не является натуральным, тоже можно показать на прямой. Для этого единичный отрезок делят на равные части, а затем считают, сколько таких частей нужно отложить от целого числа. Если единицу разделить на пять частей, одна часть будет равна ⅕, а две части — ⅖. Точка между соседними целыми числами показывает число, которое находится между ними.
Чтобы найти координату по чертежу, сначала выясняют, какое расстояние приходится на одно деление. Если известны координаты двух соседних делений, их разность показывает цену деления. Затем считают деления от известной точки до нужной и прибавляют или вычитают найденную величину. Так можно определить координату, даже если точка не совпадает с целым числом.
| Что рассматриваем | Как изображается | Как определить или сравнить |
|---|---|---|
| Число 0 | Точка начала отсчёта | Это точка, от которой отсчитывают расстояния |
| Положительное число | Точка правее нуля | От нуля откладывают нужное число единичных отрезков |
| Число между соседними целыми | Точка между их точками после деления отрезка на равные части | Считают части и определяют, сколько они составляют |
| Два числа | Две точки на прямой | Больше число, точка которого расположена правее |
Сначала определи, что именно изображено: ноль, положительное число или число между целыми. Затем проверь масштаб по единичному отрезку и делениям. Для сравнения двух чисел найди их точки и посмотри, какая расположена правее.
Задача 1. На числовой прямой отмечены 0 и 1. Отметить числа 3 и 5. Здесь расстояние от 0 до 1 — это один единичный отрезок, поэтому нужно повторять такой же шаг вправо. Число 5 расположится дальше числа 3, поскольку для него требуется больше шагов.
Ответ: числа 3 и 5 отмечены на третьем и пятом единичных отрезках справа от нуля.
Задача 2. Точка A расположена на 4 единичных отрезка правее нуля. Записать её координату. Начало отсчёта соответствует числу 0, а каждый шаг вправо увеличивает координату на 1. Поэтому четырём таким шагам соответствует число 4.
Ответ: координата точки A равна 4, то есть A(4).
Задача 3. Единичный отрезок разделён на 5 равных частей. Точка B находится на втором делении после точки с координатой 2. Найти координату B и сравнить её с 2,5. Поскольку целый отрезок состоит из пяти равных частей, каждое деление соответствует ⅕. Два деления дают ⅖, то есть 0,4.
Ответ: координата B равна 2,4; 2,4 < 2,5.
Ошибка — считать, что для числовой прямой достаточно нарисовать обычную прямую. Так думают, потому что на рисунке сначала видна только линия, но без начала отсчёта и единичного отрезка нельзя понять, где находятся числа. Положительное направление тоже необходимо, иначе неясно, в какую сторону увеличиваются координаты. Проверь себя: на изображении должны быть отмечены начало, единичный отрезок и направление.
Ошибка — откладывать единичные отрезки в разные стороны от нуля, забывая о выбранном направлении. Это происходит, когда ноль принимают за середину шкалы и автоматически начинают считать в обе стороны. Но положительные числа откладывают в заданную положительную сторону. Проверь стрелку и считай шаги только в её направлении, если отмечаешь положительное число.
Ошибка — путать число и точку, которая ему соответствует. Число задаёт координату, а точка показывает её положение на прямой; это не одно и то же. Путаница появляется потому, что в речи часто говорят «точка 4», имея в виду точку с координатой 4. Чтобы проверить себя, называй объект точно: «число 4» или «точка с координатой 4».
Ошибка — сравнивать числа по расстоянию от нуля, а не по положению точек. Например, число, расположенное правее, может быть больше, даже если рассуждение о расстоянии сбивает с толку. Сравнение определяют по направлению числовой прямой: правее — значит больше. Проверь ответ, расположив обе точки на одной прямой и посмотрев, какая из них правее.
Для работы с числовой прямой нужно уметь считать натуральные числа и понимать, что такое отрезок и его длина. Знание длины помогает отмерять единичные шаги и делить их на равные части. Сама числовая прямая пригодится, чтобы сравнивать числа, находить числа между заданными и изображать координаты точек. Эти умения используются и в дальнейших темах математики.
Что обязательно должно быть задано, чтобы прямая стала числовой?
Нужно выбрать начало отсчёта, единичный отрезок и положительное направление. Без этих трёх условий нельзя определить, где находится число и как измерять расстояние между точками.
Почему точку с координатой 0 называют началом отсчёта?
От этой точки отсчитывают расстояния, чтобы находить положения остальных чисел. Координата самой точки начала отсчёта равна 0.
Как отметить на прямой число, которое не является целым?
Раздели единичный отрезок на равные части, а затем отсчитай нужное число таких частей. Например, половина единичного отрезка соответствует числу ½.
Как по числовой прямой понять, какое из двух чисел больше?
Найди точки, которым соответствуют эти числа. Больше то число, чья точка расположена правее.
Можно ли выбрать другой единичный отрезок для той же числовой прямой?
Да, длину единичного отрезка можно выбрать другой. Тогда изменится масштаб изображения, но порядок чисел и их координаты останутся прежними.
2.3. Числа и точки на прямой
