2.2. Натуральный ряд. Сравнение натуральных чисел

Определения и обозначения

Натуральными числами называют числа, которые используют при счёте предметов: 1, 2, 3 и так далее. В принятом здесь понимании натуральные числа начинаются с единицы, поэтому 0 к ним не относят. Такие числа нужны, чтобы указать количество предметов или место предмета при счёте. Например, если в коробке пять карандашей, их количество можно записать натуральным числом 5.

Натуральный ряд — это последовательность натуральных чисел, расположенных по возрастанию: 1, 2, 3, 4, 5 и так далее. Слово «последовательность» означает, что числа стоят друг за другом в определённом порядке. Ряд помогает увидеть, какое число меньше, а какое больше: числа правее стоят дальше при счёте. По нему удобно находить соседние числа и упорядочивать записи.

Следующее число — натуральное число, которое идёт за данным в ряду; его получают, прибавляя к данному числу единицу. Например, за 12 следует 13. Предыдущее число стоит перед данным, поэтому его находят, вычитая единицу: перед 12 стоит 11. Эти понятия помогают быстро отвечать на вопросы о соседях числа.

Сравнить натуральные числа — значит определить, какое из них больше, какое меньше или равны ли они. Для записи результата используют знаки > («больше»), < («меньше») и = («равно»). Например, 9 > 6 означает, что девять больше шести. Сравнение нужно, чтобы устанавливать порядок чисел и записывать отношения между ними.

Как это устроено

Натуральный ряд можно построить, начав с 1 и каждый раз прибавляя единицу: после 1 получаем 2, после 2 — 3, затем 4. Прибавление единицы приводит именно к ближайшему следующему числу, потому что между соседними числами ряда нет другого натурального числа. Этот способ можно продолжать сколько угодно. Поэтому последнего числа нет: какое бы число мы ни получили, к нему можно прибавить 1 и продолжить ряд.

Каждое следующее число на единицу больше предыдущего: например, 15 стоит сразу после 14, потому что 15 = 14 + 1. Если от числа отступить на одно место назад, получим предыдущее: 14 = 15 − 1. Так у каждого натурального числа, кроме 1, есть предыдущее. Для первого числа такого соседа слева в натуральном ряду нет, ведь ряд начинается с 1.

Положение чисел в ряду сразу подсказывает результат сравнения. Если одно число расположено правее другого, оно встречается при счёте позже и потому больше. Например, 7 стоит правее 4, значит, 7 больше 4. Это правило объясняет, почему при сравнении достаточно верно определить порядок чисел; запись числа помогает сделать это даже для очень больших значений.

Если у чисел разное количество цифр, больше то, в записи которого цифр больше. Например, трёхзначное число больше любого двузначного: при счёте все двузначные числа заканчиваются раньше, чем начинаются трёхзначные. Поэтому 305 больше 98, хотя в записи 305 есть цифра 0. Ноль внутри записи не убирает сотни и не меняет количество цифр числа.

Если цифр одинаковое количество, сравнивают числа по разрядам слева направо. Сначала смотрят на самые старшие разряды: тысячи, сотни, десятки или единицы — в зависимости от длины записи. Пока цифры совпадают, сравнение продолжают; при первом различии больше число с большей цифрой в этом разряде. Например, в 647 и 674 сотни одинаковы, но 4 десятка меньше 7 десятков, поэтому 647 меньше 674.

Свойства натурального ряда и способы сравнения чисел

Пользуйся таблицей как памяткой: сначала определи, что требуется найти или сравнить, затем выбери подходящее правило. В примерах показан короткий способ проверить результат. При сравнении не забывай смотреть на разряды слева направо.

Разбор задач

Задача 1. Назвать число, которое следует за 28, и число, которое стоит перед 28. Нужно найти соседей числа в натуральном ряду, а не сравнивать его с произвольными числами. Следующий сосед находится на один шаг правее, а предыдущий — на один шаг левее. Поэтому используем сложение и вычитание единицы.

1. Чтобы найти следующее число, прибавляем единицу: 28 + 1 = 29.
2. Чтобы найти предыдущее число, вычитаем единицу: 28 − 1 = 27.
3. Проверяем соседство: в ряду подряд стоят 27, 28, 29.

Ответ: за 28 следует 29, перед 28 стоит 27. Такой способ работает для любого натурального числа, кроме поиска предыдущего для 1: в ряду перед единицей числа нет.

Задача 2. Сравнить 647 и 674 и записать результат знаком сравнения. В обоих числах по три цифры, поэтому подсчёт цифр не помогает. Сравниваем соответствующие разряды слева направо и останавливаемся там, где впервые встретятся разные цифры. Сотни равны, значит, решение определят десятки.

1. Сравниваем сотни: в обоих числах стоит 6, пока числа не различаются.
2. Сравниваем десятки: 4 меньше 7, поэтому 647 меньше 674.
3. Записываем и читаем: 647 < 674 — шестьсот сорок семь меньше шестисот семидесяти четырёх.

Ответ: 647 < 674. Сравнивать единицы уже не требуется: разряды десятков показали, какое число больше. Именно поэтому начинают с самого старшего разряда, а не с последней цифры.

Задача 3. Расположить числа 905, 950, 89 и 509 в порядке возрастания. Возрастание означает движение от меньшего числа к большему. Сначала удобно отделить число с двумя цифрами от трёхзначных, а затем сравнить трёхзначные между собой по разрядам. Так порядок можно проверить без догадок.

1. В числе 89 две цифры, а в остальных числах по три, значит, 89 будет первым.
2. У 509, 905 и 950 одинаковое число цифр; сравниваем сотни: 5 меньше 9, поэтому 509 идёт раньше обоих чисел с 9 сотнями.
3. У 905 и 950 сотни равны. Сравниваем десятки: 0 меньше 5, значит, 905 меньше 950.
4. Записываем весь порядок: 89, 509, 905, 950.

Ответ: 89 < 509 < 905 < 950. Проверка по натуральному ряду подтверждает, что каждое число в записи стоит правее предыдущего и потому больше него.

Типичные ошибки

Ошибка — считать, что у натурального ряда есть последнее число. Иногда ряд представляют как конечный список, но к любому названному натуральному числу можно прибавить единицу. Проверь себя вопросом: «Какое число идёт после последнего?» Если можешь назвать следующее, значит, последнего числа нет.

Ошибка — называть предыдущее число для 1, например утверждать, что это 0. В принятом здесь понимании ряд начинается с единицы, поэтому ноль не является его членом. Чтобы проверить ответ, выпиши начало ряда: 1, 2, 3. Числа перед 1 в этой последовательности нет.

Ошибка — сравнивать многозначные числа по последней или самой заметной цифре. Так можно решить, что 647 больше 674 из-за цифры 7 в конце, хотя решающими являются десятки. Начинай сравнение с крайней левой цифры и двигайся вправо. Остановись на первом различии: оно определяет результат.

Ошибка — перепутать знаки > и < и поставить их так, что запись говорит обратное. Это часто случается, если смотреть только на форму знака, не читая числа. Сначала вслух произнеси результат: например, «8 больше 3», затем запиши 8 > 3. Открытая часть знака обращена к большему числу, а остриё — к меньшему.

Связь с другими темами

Для этой темы нужно уметь читать и записывать натуральные числа, отличать цифру от числа и понимать разряды. Цифры составляют запись числа, а разряды показывают значение каждой цифры в этой записи. Сравнение пригодится, когда нужно упорядочить данные или выбрать подходящее действие в арифметической задаче. Натуральный ряд и знаки неравенства помогут дальше изучать координатный луч и числовые выражения.

Что запомнить

• Натуральные числа образуют бесконечный ряд.
• Каждое следующее натуральное число на единицу больше предыдущего.
• У каждого натурального числа, кроме первого, есть предыдущее.
• В натуральном ряду больше то число, которое расположено правее.
• Из двух натуральных чисел с разным количеством цифр больше число с большим количеством цифр.
• Если количество цифр одинаково, сравнивают цифры по разрядам слева направо.
• Знаки >, < и = обозначают «больше», «меньше» и «равно».