"Математика", Бунимович Е.А., Дорофеев Г.В., Суворова С.Б. и др.
Натуральные числа используют при счёте: 1, 2, 3 и так далее. Если расположить их по порядку, получится натуральный ряд, в котором у каждого числа есть следующее, а у большинства — и предыдущее. Ряд не заканчивается: к любому числу можно прибавить единицу. Чтобы сравнить два числа, сначала смотрят, сколько в них цифр, а при одинаковой длине записи сравнивают цифры слева направо. Это помогает упорядочивать числа и выбирать нужное действие при решении задач.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Натуральное число — число, которое используют при счёте предметов. В этой договорённости натуральные числа начинаются с 1, а 0 к ним не относится. С ними удобно пересчитывать предметы и записывать, сколько их всего.
Натуральный ряд — последовательность натуральных чисел, расположенных по порядку, начиная с наименьшего: 1, 2, 3, 4 и так далее. Такое расположение показывает, какое число меньше, а какое больше. Оно также помогает находить числа, стоящие рядом.
Предыдущее число стоит непосредственно перед данным в натуральном ряду, а следующее число — непосредственно после него. Например, для 48 предыдущее число — 47, а следующее — 49. Эти понятия нужны, чтобы переходить от числа к соседнему без пересчёта всего ряда.
Сравнение натуральных чисел — определение, какое из двух чисел больше или меньше либо равны ли они. Знак > означает «больше», знак < — «меньше», а знак = — «равно». Сравнение помогает правильно упорядочить числа и выбрать подходящее действие в задаче.
Числа в натуральном ряду расположены по порядку, потому что при счёте к уже названному количеству каждый раз добавляют один предмет. Поэтому каждое следующее число получается прибавлением единицы: после 6 идёт 7, после 7 — 8. Между соседними числами нет другого натурального числа, иначе они не стояли бы непосредственно рядом. Благодаря этому ряду можно точно назвать место числа среди других.
У каждого натурального числа, кроме первого, есть предыдущее: оно на единицу меньше данного. Например, перед 12 стоит 11, потому что 11 + 1 = 12. Первое число в принятой договорённости — 1, а перед ним нет натурального числа: 0 в ряд не включён. Следующее число есть у любого натурального числа, поскольку к нему всегда можно прибавить единицу.
Натуральный ряд не заканчивается, потому что для любого выбранного числа можно получить ещё одно, большее его на единицу. Если предположить, что последнее число существует, то после него всё равно можно записать число на 1 больше. Значит, названное число не было последним. Это свойство позволяет продолжать счёт сколь угодно далеко.
Если в записях двух чисел разное количество цифр, большим будет число с большим количеством цифр. Причина в разрядах: любое число из трёх цифр не меньше 100, а двузначное число не больше 99. Поэтому трёхзначное число всегда больше двузначного, даже если его последние цифры маленькие. Такой способ позволяет сравнить числа сразу, не рассматривая каждую цифру.
Если цифр поровну, сравнивают цифры по разрядам слева направо. Первая цифра показывает количество сотен, тысяч или другого старшего разряда, поэтому различие в ней уже определяет результат. Если первые цифры равны, сравнивают следующие, пока не найдут первое различие. Цифры справа от него уже не могут изменить результат: более старший разряд имеет больший вес.
| Ситуация | Как сравнить | Вывод |
|---|---|---|
| Числа одинаковы | Сравнить все цифры в соответствующих разрядах | Поставить знак = |
| В записи разное количество цифр | Посчитать цифры в каждом числе | Больше число с большим количеством цифр |
| В записи одинаковое количество цифр, первые цифры различаются | Сравнить первые цифры слева | Больше число с большей первой цифрой |
| Первые цифры совпадают, различие появляется дальше | Двигаться слева направо до первой пары разных цифр | Больше число с большей цифрой на месте различия |
| Все соответствующие цифры совпадают | Сравнить записи целиком | Числа равны, поставить знак = |
Пользуйся таблицей сверху вниз: сначала проверь, одинаково ли количество цифр в записях. Если оно одинаковое, сравнивай цифры слева направо и остановись на первом различии. Если все цифры совпали, числа равны.
Задача 1. Запишите следующие три числа после 48 и предыдущее число перед 48. В натуральном ряду соседние числа отличаются на единицу. Поэтому нужно последовательно прибавлять 1 для следующих чисел и вычесть 1, чтобы найти предыдущее.
Ответ: следующие числа — 49, 50, 51; предыдущее — 47. Проверка: все числа идут подряд без пропусков. Число 47 действительно стоит перед 48.
Задача 2. Сравните 906 и 89, поставив знак >, < или =. Здесь числа имеют разную длину записи, поэтому не требуется сравнивать отдельные цифры. Сначала посчитаем цифры в каждом числе.
Ответ: 906 > 89. Проверить вывод можно по разрядам: 906 — трёхзначное число, а любое трёхзначное число больше любого двузначного. Последние цифры здесь роли не играют.
Задача 3. Сравните 53 718 и 53 681 и объясните, на какой цифре определяется результат. В обоих числах по пять цифр, поэтому сначала сравнивать их количество не нужно. Будем проверять цифры по порядку слева направо и остановимся, когда найдём разные.
Ответ: 53 718 < 53 681. Результат определяется четвёртой цифрой слева, то есть цифрой разряда десятков. До неё числа совпадают, а цифра на этом месте в первом числе меньше.
Ошибка — думать, что натуральный ряд заканчивается на каком-то большом числе. Её допускают, если принимают самое большое встреченное число за последнее. Проверь себя: прибавь к нему 1 — результат тоже будет натуральным числом. Значит, ряд можно продолжить.
Ошибка — сравнивать многозначные числа по последней цифре или сумме цифр. Такие способы не учитывают, что цифры стоят в разных разрядах, поэтому результат может оказаться неверным. Сравнивай сначала число цифр, а при одинаковом количестве — цифры слева направо. Проверка: решающей должна быть первая пара разных цифр.
Ошибка — считать число большим из-за большой последней цифры, не проверив длину записи. Например, цифра единиц сама по себе не делает двузначное число больше трёхзначного. Сначала посчитай количество цифр, и только если оно совпадает, переходи к сравнению разрядов. Так ты не перепутаешь порядок чисел.
Знаки > и < легко перепутать, если смотреть только на их наклон. Запомни: острый угол знака направлен к меньшему числу, а раскрытая сторона — к большему. После того как поставил знак, прочитай запись вслух слева направо. Например, 9 > 4 читается «девять больше четырёх».
Для этой темы нужно уметь считать предметы и записывать числа цифрами. Также важно понимать разряды: например, в числе 352 цифра 3 обозначает сотни, 5 — десятки, а 2 — единицы. Это знание объясняет, почему при одинаковом количестве цифр начинают сравнение слева.
Натуральный ряд помогает располагать числа по возрастанию или убыванию, а сравнение показывает, какое число больше и на сколько. Эти умения нужны при выполнении арифметических действий и решении задач. Например, сравнение помогает проверить, разумен ли полученный ответ.
Считается ли ноль натуральным числом?
В принятой здесь договорённости натуральный ряд начинается с числа 1, поэтому 0 натуральным числом не считается. В других книгах и областях математики договорённость может отличаться.
Почему у натурального ряда нет последнего числа?
У любого натурального числа можно найти следующее: для этого нужно прибавить 1. Поэтому какое бы число ни назвали последним, после него будет ещё одно.
Как найти предыдущее и следующее число?
Чтобы найти следующее число, прибавь к данному 1. Чтобы найти предыдущее, вычти 1; для числа 1 такого натурального числа нет.
Как быстро сравнить числа с разным количеством цифр?
Посчитай цифры в записи каждого числа. Больше то число, в котором цифр больше.
Что делать, если первые цифры сравниваемых чисел одинаковы?
Сравнивай следующие цифры по порядку, двигаясь слева направо. Остановись на первой паре разных цифр: больше будет число с большей цифрой на этом месте.
6. Натуральный ряд. Сравнение натуральных чисел
