5. Как записывают и читают числа

Определения и обозначения

Цифра — один из десяти знаков от 0 до 9, используемых для записи чисел. Например, 4 и 9 — цифры, а цифра 0 помогает показать, что в каком-то разряде нет единиц. Цифры нужны как знаки, из которых составляют запись числа.

Число — математический объект, который может быть записан одной или несколькими цифрами. Например, число 6 записано одной цифрой, а число 26 — двумя цифрами. Число показывает количество, а цифры помогают это количество записать и прочитать.

Разряд — место цифры в записи числа, определяющее её значение. Справа налево идут единицы, десятки, сотни, тысячи и следующие разряды. Разряд нужен, чтобы понять, сколько именно единиц обозначает цифра в конкретной записи.

Класс — группа из трёх соседних разрядов, отсчитываемых справа налево. Например, единицы, десятки и сотни вместе образуют класс единиц. Классы помогают делить длинную запись на удобные группы и правильно читать большие числа.

Как это устроено

Для записи натуральных чисел достаточно десяти цифр: от 0 до 9. Когда нужно показать большее количество, цифры ставят рядом, а значение каждой определяют по её месту. Например, так получаются числа 7, 70 и 700: знак 7 один и тот же, но количество единиц, десятков или сотен разное. Поэтому из десяти цифр можно составить сколь угодно длинную запись числа.

Каждое следующее место слева обозначает разряд, в котором единиц в десять раз больше, чем в предыдущем: единицы, десятки, сотни, тысячи. Поэтому цифра 5 в числе 5 означает пять единиц, а в числе 50 — пять десятков. Если разряд пуст, на его месте пишут 0: это показывает, что цифры справа и слева занимают свои места. Так положение цифры не позволяет перепутать её значение.

Для удобства длинную запись делят на классы по три цифры, начиная справа. В первом классе находятся единицы, в следующем — тысячи, затем миллионы и миллиарды. Такое деление связано с тем, что в каждом классе помещаются единицы, десятки и сотни одного наименования. Границы классов помогают быстро определить, какая часть числа отвечает за тысячи, миллионы и другие крупные количества.

Число читают слева направо, произнося сначала цифры очередной группы, а затем название её класса: например, «пять тысяч». Класс единиц обычно не называют, потому что любое число и так выражено в единицах. Нулевые разряды внутри группы тоже не произносят: в числе 305 говорят «триста пять», а не называют нулевые десятки. Если целый класс состоит из нулей, его название при чтении также пропускают.

Чтобы записать число по словесному описанию, сначала выделяют названные классы и располагают их по порядку: миллионы, тысячи, единицы. В каждом классе оставляют место для трёх цифр и ставят названные сотни, десятки и единицы на подходящие позиции. Если разряд не назван или целая группа отсутствует, её место заполняют нулями. Нули в начале числа не нужны, но нули в начале отдельного класса могут быть необходимы, чтобы сохранить правильное положение цифр.

Разряды и классы натуральных чисел

Чтобы определить разряд, найди цифру справа налево и посчитай её место внутри класса. При чтении группы цифр добавляй название соответствующего класса, если это не класс единиц. Незаполненные разряды сохраняй нулями, даже если их не произносят.

Разбор задач

Задача 1. Прочитать число 7 305. Между цифрами уже поставлен пробел, который показывает границу классов. Нужно назвать класс тысяч, затем класс единиц, не произнося нулевой разряд десятков.

1. Разделим число на группы справа налево: 7 | 305.
2. Первая группа — 7, это семь тысяч.
3. Вторая группа — 305, это триста пять; ноль десятков вслух не называем.

Ответ: семь тысяч триста пять. Проверка: в числе 305 цифра 3 стоит в разряде сотен, а цифра 5 — в разряде единиц. Поэтому слова «триста пять» точно передают значение этой группы.

Задача 2. Записать цифрами число «сорок два миллиона пять тысяч восемь». Сначала определим, какие классы названы: миллионов, тысяч и единиц. В каждом классе должно быть по три цифры, даже если некоторые разряды не названы.

1. Класс миллионов: сорок два миллиона — 42; в записи класса ставим 042, чтобы сохранить три места.
2. Класс тысяч: пять тысяч — 005, потому что сотни тысяч и десятки тысяч отсутствуют.
3. Класс единиц: восемь — 008, так как сотни и десятки не названы.
4. Соединим группы: 042 | 005 | 008 и уберём нули в начале всего числа.

Ответ: 42 005 008. Проверим запись чтением по классам: сорок два миллиона, пять тысяч, восемь. Нули в классах тысяч и единиц сохраняют места цифр, хотя при чтении их не произносят.

Задача 3. Записать и прочитать число, состоящее из 6 сотен миллионов, 4 десятков тысяч и 9 единиц. Каждое словосочетание сразу указывает нужный разряд, поэтому сначала расставим цифры по классам. Незанятые позиции оставим нулями.

1. В классе миллионов ставим 6 в разряд сотен миллионов: группа получается 600.
2. В классе тысяч ставим 4 в разряд десятков тысяч; тысячи и сотни тысяч равны нулю: 040.
3. В классе единиц ставим 9 в разряд единиц: группа 009.
4. Объединим классы и прочитаем ненулевые группы слева направо.

Ответ: 600 040 009 — шестьсот миллионов сорок тысяч девять. Нули показывают, что в числе нет десятков тысяч? Нет: цифра 4 как раз обозначает десятки тысяч, а нулевые позиции — сотни тысяч, тысячи, сотни и десятки. Проверка чтением подтверждает, что каждая названная разрядная единица заняла нужное место.

Типичные ошибки

Многозначную запись иногда называют цифрой, хотя цифра — только один знак от 0 до 9. Путаница возникает потому, что в разговоре слова могут казаться похожими. Проверь себя: если запись состоит из нескольких знаков, это число, записанное несколькими цифрами.

Некоторые стараются произнести все нули или называют класс, полностью состоящий из нулей. Так происходит, если читающий пытается назвать каждый записанный знак отдельно. Читай только ненулевые группы и разряды: ноль сохраняет место в записи, но отдельным словом не произносится.

Если считать классы слева направо или объединять не по три цифры, большие числа читаются неправильно. Ошибка появляется, когда забывают, что отсчёт начинается с правого края записи. Проверь себя: поставь мысленные границы через каждые три цифры справа налево, а затем подпиши классы.

Пропуск нуля внутри записи меняет положение соседних цифр и может превратить число в другое. Например, в записи 40 005 цифра 4 обозначает десятки тысяч, а нули показывают пустые разряды. Чтобы проверить себя, разбей запись на классы по три цифры и прочитай её: все названные разряды должны совпасть со словесным описанием.

Связь с другими темами

До этой темы нужно знать единицы, десятки и сотни, а также уметь читать простые натуральные числа. Разряды и классы понадобятся при сравнении чисел: они помогают находить первую значащую группу и цифру. Они же нужны при округлении, сложении и вычитании многозначных чисел, чтобы цифры одинаковых разрядов стояли друг под другом.

Разрядное строение помогает записывать величины и выполнять действия с большими числами. Оно пригодится и при переходе к десятичным дробям, где положение цифры также связано с её значением. Поэтому умение читать и записывать числа становится основой для следующих математических тем.

Что запомнить

• Для записи натуральных чисел используют цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9.
• Значение цифры определяется её местом в записи числа.
• Разряды считают справа налево: единицы, десятки, сотни, тысячи.
• Три соседних разряда образуют класс.
• При чтении числа его разбивают справа налево на группы по три цифры.
• Нулевые разряды и классы не произносят, но учитывают при записи числа.
• Число можно записать цифрами и представить словесно.