Натуральные числа

Определения и обозначения

Натуральное число — число, которое используют при счёте предметов. Например, число 4 помогает сказать, сколько карандашей лежит на столе. В этом учебнике натуральный ряд начинается с 1, поэтому ноль в него не входит.

Натуральный ряд — последовательность натуральных чисел 1, 2, 3, 4, …, которая продолжается без конца. Многоточие показывает, что после записанных чисел идут следующие. Ряд помогает называть числа по порядку и находить число, которое следует за данным.

Числовой луч — луч с началом и выбранным направлением, на котором числа изображают точками. Чтобы отметить числа, на луче сначала выбирают единичный отрезок. Такое изображение помогает сравнивать числа и видеть, какое из них больше.

Единичный отрезок — отрезок, длину которого принимают за единицу при изображении чисел на числовом луче. От начала луча откладывают столько единичных отрезков, сколько указывает число. Например, для числа 3 нужно отложить три таких отрезка.

Как это устроено

Когда нужно посчитать предметы, удобно каждому предмету поставить в соответствие одно число: первый, второй, третий и так далее. Так появляются натуральные числа, которые показывают количество целых предметов. Числом 2 можно обозначить две чашки, но нельзя выразить половину чашки, если считают целые предметы. Количество меньше одного предмета или нецелое количество описывают другими числами, например дробями.

В этом учебнике ряд начинается с 1, потому что при счёте первый предмет получает именно это число. У числа 1 нет предыдущего натурального числа, а у любого другого есть: перед 8 стоит 7, перед 20 — 19. Последнего числа не существует, ведь к названному числу всегда можно прибавить 1. Поэтому натуральный ряд продолжается бесконечно.

Чтобы сравнить числа, сначала посчитай, сколько цифр в каждом: число с большим количеством цифр больше. Например, 735 больше 98, потому что в 735 три цифры, а в 98 — две. Если цифр поровну, сравнивай разряды слева направо. Так ты найдёшь первую цифру, которая отличается: именно она покажет, какое число больше.

В десятичной системе каждая цифра занимает определённое место, или разряд, и её значение зависит от этого места. Например, в числе 52 цифра 5 означает пять десятков, а в числе 205 — две сотни и пять единиц. Каждый разряд справа налево в десять раз больше предыдущего: десять единиц составляют десяток, десять десятков — сотню. Поэтому одинаковая цифра в разных местах может обозначать разное количество.

На числовом луче сначала отмечают начало, направление и единичный отрезок. Затем от начала откладывают нужное число единичных отрезков и ставят точку. Если число больше, отрезков нужно отложить больше, поэтому точка окажется правее. Между соседними натуральными числами на луче нет точки, которая соответствовала бы ещё одному натуральному числу.

Разряды и классы натуральных чисел

Классы объединяют разряды по три, считая справа налево. Чтобы прочитать большое число, удобно отделять классы пробелами, а затем называть их по порядку. Таблица также помогает понять, какое количество обозначает цифра в каждом месте записи.

Разбор задач

Записать цифрами число: пять тысяч сорок два.

В словесном названии сначала определяем крупные разряды, а затем проверяем, какие разряды не названы. «Пять тысяч» задаёт цифру в разряде единиц тысяч. Слово «сорок» задаёт десятки, а «два» — единицы. Сотни не названы, значит, их нужно обозначить нулём.

1. Запишем 5 в разряд единиц тысяч: это пять тысяч. На этом шаге определяем, с какой цифры должно начинаться число. Она будет стоять на четвёртом месте справа.

2. Сотен в названии нет, поэтому в разряд сотен поставим 0. Ноль сохраняет место сотен, хотя сам не добавляет к числу ни одной сотни. Если убрать его, значение остальных цифр изменится.

3. Сорок — это 4 десятка, поэтому в разряд десятков ставим 4. Два — это 2 единицы, значит, последней цифрой будет 2. Получаем запись 5042.

Ответ: 5042.

Сравнить числа 48 305 и 48 350.

В обоих числах по пять цифр, поэтому по их количеству определить большее число нельзя. Сравним цифры слева направо, начиная с наибольшего разряда. Совпадающие цифры не влияют на результат сравнения, поэтому продолжаем до первого различия. На этом разряде сравнение и остановится.

1. Сравним десятки тысяч: в обоих числах стоит 4. Это значит, что количество десятков тысяч одинаковое. Переходим к следующему разряду.

2. Сравним тысячи: в обоих числах стоит 8. Тысячи тоже одинаковы. Затем сравним сотни: в первом числе 3, а во втором — 3, поэтому идём дальше.

3. Сравним десятки: в числе 48 305 стоит 0, а в числе 48 350 — 5. Так как 0 меньше 5, первое число меньше второго. Цифры единиц уже не могут изменить результат.

Ответ: 48 305 < 48 350.

На числовом луче единичный отрезок длиной 1 см. Отметить числа 3 и 6 и определить расстояние между соответствующими точками.

Каждое натуральное число на луче показывает, сколько единичных отрезков нужно отложить от начала. Поскольку единичный отрезок равен 1 см, положение числа можно сразу перевести в длину. Чтобы узнать расстояние между точками, нужно сравнить их положения. Разность чисел показывает, сколько единичных отрезков лежит между ними.

1. Отметим начало луча и выберем направление вправо. От начала последовательно откладываем отрезки по 1 см. Так на луче появляется единица, затем двойка и следующие числа.

2. Для числа 3 отложим три единичных отрезка: точка окажется в 3 см от начала. Для числа 6 отложим шесть таких отрезков: его точка будет в 6 см от начала. Значит, точка числа 6 находится правее.

3. Найдём расстояние между точками: 6 − 3 = 3. Между отметками три единичных отрезка, каждый длиной 1 см. Поэтому расстояние равно 3 см.

Ответ: точки чисел 3 и 6 находятся на расстоянии 3 см.

Типичные ошибки

Некоторые считают 0 натуральным числом, потому что он встречается в записи чисел или обозначает отсутствие предметов. Но по принятому здесь определению натуральный ряд начинается с 1. Проверяй себя: первый член ряда — 1, а не 0.

При сравнении многозначных чисел можно смотреть только на первую цифру. Это неверно, если первые цифры совпадают: нужно продолжать сравнение по разрядам слева направо до первого различия. Для проверки отметь разряд, на котором числа впервые отличаются, и сравни цифры именно там.

Записывая число по названию, легко пропустить разряд, который не упомянут, например сотни в числе «пять тысяч сорок два». Из-за этого цифры сдвинутся и получится другое число. Проверь, что каждому разряду соответствует своё место; отсутствующие разряды обозначай нулями.

Ещё одна ошибка — считать, что цифра всегда означает одно и то же количество. Например, цифра 3 в числе 35 означает три десятка, а в числе 305 — три сотни. Причина ошибки — внимание только к самой цифре, а не к её месту. Чтобы проверить себя, назови разряд каждой цифры.

Связь с другими темами

Для работы с натуральными числами нужно уметь считать предметы, узнавать цифры и отличать цифру от числа. Эти знания помогают правильно читать и записывать количества, а также сравнивать их. Натуральные числа станут основой для арифметических действий и изучения делимости. Позже они понадобятся при знакомстве с дробями и координатным лучом, где точками отмечают числа.

Что запомнить

• В этом учебнике натуральный ряд начинается с 1.
• У натурального ряда нет последнего числа.
• Число записывают с помощью цифр, а значение цифры зависит от её разряда.
• При одинаковом количестве цифр натуральные числа сравнивают поразрядно слева направо.
• На числовом луче большему числу соответствует точка правее.
• Между соседними натуральными числами нет другого натурального числа.