"Математика", Бунимович Е.А., Дорофеев Г.В., Суворова С.Б. и др.
Окружность — замкнутая линия, каждая точка которой находится на одинаковом расстоянии от центра. Это расстояние называют радиусом, а отрезок между двумя точками окружности, проходящий через центр, — диаметром. С помощью центра и радиуса можно точно построить окружность циркулем. Главное свойство для задач: диаметр состоит из двух радиусов и потому вдвое длиннее каждого из них. Окружность — только линия, а круг включает ещё и всё, что находится внутри неё.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Окружность — замкнутая линия, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от одной точки. Представь, что игла циркуля закреплена на бумаге, а карандаш движется вокруг неё: его след образует окружность. Это определение помогает отличить её от произвольной линии и задаёт способ построения.
Центр окружности — точка, от которой одинаково удалены все точки окружности. Обычно центр обозначают заглавной буквой, например O. Он нужен, чтобы указать положение окружности и определить, откуда измерять её радиус.
Радиус — отрезок, соединяющий центр с любой точкой окружности; радиусом также называют длину этого отрезка. Например, если отрезок от центра O до точки A на окружности равен 3 см, то радиус равен 3 см. Радиус нужен для построения окружности и описания её размера.
Диаметр — отрезок, который соединяет две точки окружности и проходит через её центр. Его концы лежат на окружности, а центр находится посередине отрезка. Диаметр помогает находить размер окружности, если известен радиус, или вычислять радиус по известному диаметру.
Чтобы построить окружность, сначала выбери точку, которая будет центром, и длину радиуса. Затем раздвинь ножки циркуля так, чтобы расстояние между иглой и карандашом равнялось радиусу: именно такой длины должны быть отрезки от центра до линии. Поставь иглу в центр и поверни циркуль вокруг неё, не меняя расстояние между ножками. Карандаш оставит замкнутый след, потому что всё время будет находиться на одинаковом расстоянии от центра.
Все радиусы одной окружности равны не случайно: окружность определена как линия, точки которой одинаково удалены от центра. Поэтому, куда бы ни переместилась точка на этой линии, расстояние до центра останется тем же. Каждый отрезок от центра до точки окружности имеет такую же длину, как и остальные. Если при чертеже эти отрезки выглядят по-разному, проверь, правильно ли построена окружность или измерены отрезки.
Диаметр проходит через центр, поэтому центр делит его на две части. Каждая часть соединяет центр с точкой окружности и является радиусом. Эти две части равны, так как все радиусы одной окружности равны. Значит, длина диаметра равна сумме двух одинаковых радиусов: d = 2r, где d — диаметр, а r — радиус.
Центр и радиус вместе позволяют точно задать окружность. Центр определяет, где она расположена: если переместить центр, окружность переместится вслед за ним. Радиус определяет её размер: чем он больше, тем дальше линия от центра и тем крупнее окружность. Поэтому, чтобы построить нужную окружность, недостаточно знать только её центр или только длину радиуса — нужны оба значения.
Окружность и круг связаны, но это не одно и то же. Окружность — только линия-граница, похожая на обводку круглого предмета. Круг включает эту границу и всю область внутри неё, как закрашенная часть рисунка. Различие важно в задачах: если речь идёт о линии, говорят об окружности, а если о внутренней области вместе с границей — о круге.
| Элемент | Что обозначает | Как связан с радиусом |
|---|---|---|
| Центр окружности | Точка, равноудалённая от всех точек окружности | От центра измеряют каждый радиус |
| Радиус | Отрезок от центра до точки окружности | Задаёт размер окружности |
| Диаметр | Отрезок между двумя точками окружности через центр | Равен двум радиусам |
Сначала найди в таблице нужный элемент и проверь, какие точки он соединяет. Затем посмотри, как он связан с радиусом: это поможет выбрать действие в задаче. Если известен радиус, для диаметра его удваивают, а если известен диаметр, радиус находят делением на 2.
Задача 1. Проведи окружность с центром O и радиусом 3 см. Нужно получить линию, каждая точка которой находится от O на расстоянии 3 см. Поэтому важно сначала выставить точный раствор циркуля, а при черчении не менять его.
Ответ: проведена окружность с центром O и радиусом 3 см. Её размер задаёт расстояние между ножками циркуля, а положение — точка O.
Задача 2. Радиус окружности равен 4 см. Найди длину её диаметра. Диаметр проходит через центр и состоит из двух радиусов, поэтому неизвестная длина складывается из двух отрезков по 4 см. Умножим длину радиуса на 2.
Ответ: длина диаметра равна 8 см. Это вдвое больше радиуса 4 см.
Задача 3. Диаметр окружности равен 12 см. Найди радиус и объясни, почему он имеет такую длину. Диаметр состоит из двух одинаковых радиусов, значит, нужно разделить его длину на 2. Так мы узнаем длину одной из двух равных частей.
Ответ: радиус равен 6 см, потому что диаметр длиной 12 см состоит из двух равных радиусов.
Называть круг окружностью — значит смешивать линию и область внутри неё. Так ошибаются, потому что в обычной речи эти слова нередко употребляют похоже. Проверь себя: если описана только граница, это окружность; если область внутри тоже входит, это круг.
Считать радиусом отрезок между любыми двумя точками окружности неверно: у радиуса один конец обязательно находится в центре. Путаница возникает из-за того, что оба конца такого отрезка могут лежать на окружности. Найди центр и проверь, соединяет ли отрезок его с точкой окружности.
Путать длины радиуса и диаметра — значит забывать, что диаметр состоит из двух радиусов. Это часто случается, когда на чертеже отрезки не подписаны. Проверь вычисление: диаметр должен быть вдвое длиннее радиуса, а радиус — вдвое короче диаметра.
Изображать диаметр отрезком, который не проходит через центр, нельзя: такой отрезок не отвечает определению диаметра. Его могут принять за диаметр, если смотреть только на то, что оба конца лежат на окружности. Проведи отрезок и проверь, находится ли центр на нём.
Для работы с окружностью нужно уметь измерять длину отрезка и пользоваться линейкой и циркулем. Линейка помогает отмерить радиус, а циркуль — перенести это расстояние на чертёж и провести линию. Позже окружность встретится при изучении её длины и площади круга. Она также нужна для геометрических построений, где важно точно выдерживать расстояния между точками.
Чем окружность отличается от круга?
Окружность — это только замкнутая линия. Круг состоит из этой линии и всей области внутри неё.
Почему все радиусы одной окружности равны?
По определению окружности все её точки находятся на одном и том же расстоянии от центра. Каждый радиус как раз соединяет центр с одной из этих точек, поэтому длины радиусов равны.
Как провести окружность циркулем?
Выбери центр и нужную длину радиуса, затем установи такое расстояние между ножками циркуля. Поставь иглу в центр и, не меняя раствор, поверни циркуль, чтобы провести замкнутую линию.
Может ли диаметр не проходить через центр?
Нет. Диаметр по определению проходит через центр и соединяет две точки окружности. Отрезок между точками окружности, который не проходит через центр, диаметром не является.
Как найти радиус, если известен диаметр?
Раздели длину диаметра на 2: радиус вдвое короче диаметра. Например, если диаметр равен 12 см, то радиус равен 12 : 2 = 6 см.
4. Окружность
