13. Окружность

Определения и обозначения

Окружность — замкнутая линия, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от одной точки. Замкнутая значит, что у линии нет начала и конца. Окружность задают, указав её центр и расстояние от него до линии. По этим данным можно построить нужную линию.

Центр окружности — точка, равноудалённая от всех точек окружности. Равноудалённая означает, что расстояния от этой точки до разных точек окружности одинаковы. Обычно центр обозначают заглавной буквой, например O. Он нужен, чтобы точно указать положение окружности и измерять радиусы.

Радиус — отрезок, соединяющий центр окружности с любой её точкой; радиусом также называют длину этого отрезка. Один конец радиуса находится в центре, а второй — именно на окружности. Например, отрезок OA будет радиусом, если O — центр, а A лежит на окружности. Радиус помогает задать размер окружности.

Диаметр — отрезок, соединяющий две точки окружности и проходящий через её центр. Он состоит из двух радиусов, расположенных на одной прямой по разные стороны от центра. Например, если A и B лежат на окружности, а отрезок AB проходит через центр O, то AB — диаметр. По диаметру можно определить радиус и наоборот.

Как это устроено

Чтобы построить окружность циркулем, сначала выбери и отметь центр. Поставь в него иглу циркуля, а расстояние от иглы до грифеля установи равным нужному радиусу. Затем, удерживая ножку с иглой на месте, поверни циркуль вокруг неё. Игла остаётся в центре, а грифель всё время находится на одинаковом расстоянии от него, поэтому линия получается окружностью. Если во время построения раздвинуть или сдвинуть ножки, расстояние изменится и линия не будет одной окружностью.

Все радиусы одной окружности равны не просто по договорённости. По определению окружность состоит из точек, каждая из которых находится от центра на одном и том же расстоянии. Если провести отрезки от центра к разным точкам окружности, каждый такой отрезок будет иметь эту длину. Поэтому можно измерить один радиус и знать длину остальных. Именно это свойство позволяет строить окружность одним и тем же раствором циркуля.

Диаметр проходит от одной стороны окружности к другой через центр. Поэтому его можно разделить на две части: от одного края до центра и от центра до другого края. Обе части — радиусы одной окружности, а они равны. Значит, диаметр состоит из двух равных радиусов: если радиус равен 3 см, диаметр равен 6 см. Чтобы найти радиус по диаметру, нужно разделить длину диаметра на два.

Диаметр является наибольшей хордой окружности. Хордой называют отрезок, соединяющий две точки окружности; диаметр — это хорда, проходящая через центр. Если провести хорду в стороне от центра, её концы окажутся ближе друг к другу, чем точки окружности, лежащие на одной прямой через центр. Поэтому такой отрезок будет короче диаметра. Центр здесь важен: именно проходящий через него отрезок пересекает окружность в наиболее удалённых друг от друга точках.

Окружность и круг связаны, но это не одно и то же. Окружность — только линия, которая очерчивает границу. Круг включает и эту границу, и всю часть плоскости внутри неё. Например, если нарисовать окружность на бумаге, линия будет окружностью, а область, которую можно закрасить внутри линии, вместе с границей будет кругом. Различие нужно, чтобы точно понимать, говорим ли мы о линии или о целой области.

Элементы окружности и их свойства

Используй таблицу, чтобы сверить название элемента с его определением и свойством. Для радиуса проверь, что один конец отрезка находится в центре, а другой — на окружности. Для диаметра дополнительно проверь, что отрезок проходит через центр.

Разбор задач

Задача. Построй окружность с центром O и радиусом 3 см. Здесь нужно не найти длину окружности, а провести линию, каждая точка которой удалена от O на 3 см. Значит, прежде всего важно правильно установить раствор циркуля. Если под рукой нет линейки, точно отмерить 3 см не получится, поэтому сначала проверим расстояние между иглой и грифелем.

1. Отметь на бумаге точку O — это будет центр окружности.
2. Приложи линейку к циркулю и раздвинь его ножки так, чтобы расстояние от иглы до грифеля составляло 3 см. Это расстояние и есть будущий радиус.
3. Поставь иглу в точку O. Не меняя раствора циркуля, поверни его так, чтобы грифель провёл замкнутую линию.
4. Проверь построение: игла должна оставаться в O, а раствор циркуля не должен измениться. Тогда все точки линии находятся на расстоянии 3 см от центра.

Ответ: окружность с центром O и радиусом 3 см построена.

Задача. Радиус окружности равен 4 см. Найди длину её диаметра. Сначала вспомним, где на диаметре находится центр: он делит диаметр на два радиуса. Поэтому длина диаметра в два раза больше длины одного радиуса, и нужно умножить 4 см на 2.

1. Запиши длину радиуса: r = 4 см.
2. Используй связь диаметра и радиуса: d = 2r.
3. Подставь значение радиуса: d = 2 · 4 см = 8 см.
4. Проверь результат: диаметр должен быть длиннее радиуса, а 8 см вдвое больше 4 см.

Ответ: длина диаметра равна 8 см.

Задача. Диаметр окружности равен 10 см. Найди радиус и сравни его с отрезком от центра до точки окружности. Диаметр проходит через центр и состоит из двух равных частей. Каждая часть идёт от центра до точки окружности, то есть является радиусом. Поэтому сначала найдём половину диаметра, а затем сравним её с таким отрезком.

1. Запиши длину диаметра: d = 10 см.
2. Раздели диаметр пополам: r = 10 см : 2 = 5 см.
3. Отрезок от центра до точки окружности — радиус, если эта точка действительно лежит на окружности.
4. Длина любого такого радиуса равна 5 см, поэтому найденный радиус совпадает с длиной указанного отрезка.

Ответ: радиус равен 5 см; отрезок от центра до точки окружности тоже имеет длину 5 см, если точка лежит на окружности.

Типичные ошибки

Ошибка: называть круг окружностью. Так происходит, потому что на рисунке часто показывают и линию, и область внутри неё вместе. Чтобы проверить себя, уточни, о чём говорится: о замкнутой границе или о всей части плоскости внутри границы. Линия — окружность, а область с границей — круг.

Ошибка: считать радиусом любой отрезок от центра до точки внутри круга. Так можно решить, если забыть, что в определении радиуса второй конец должен лежать именно на окружности. Проверь положение обоих концов отрезка: один должен быть в центре, другой — на линии окружности. Если второй конец находится внутри, это не радиус.

Ошибка: считать, что диаметр равен радиусу. Обычно так думают, если замечают, что оба отрезка связаны с центром, но забывают, что диаметр продолжается по обе стороны от него. Представь диаметр разделённым центром: получатся два радиуса. Значит, диаметр вдвое длиннее радиуса, а не равен ему.

Ошибка: изображать диаметр отрезком, который не проходит через центр. Его могут принять за диаметр просто потому, что оба конца лежат на окружности. Но такой отрезок — хорда; диаметром он становится только при прохождении через центр. Проведи отрезок и проверь, лежит ли центр на нём: если нет, это не диаметр.

Связь с другими темами

Чтобы изучать окружность, нужно различать точку и отрезок, измерять длину отрезка и уметь пользоваться линейкой и циркулем. Эти навыки нужны, чтобы точно отметить центр и построить заданный радиус. Понятия радиуса и диаметра пригодятся при изучении круга, измерении расстояний и решении геометрических задач. Например, умение находить радиус по диаметру помогает понять размеры круглых предметов и выполнять построения.

Что запомнить

• Окружность — замкнутая линия.
• Все точки окружности равноудалены от её центра.
• Радиус соединяет центр с точкой окружности.
• Все радиусы одной окружности равны.
• Диаметр проходит через центр.
• Диаметр равен двум радиусам.
• Окружность — линия, а круг — часть плоскости внутри неё.