2.69. Окружность

Определения и обозначения

Окружность — линия, состоящая из всех точек плоскости, равноудалённых от одной точки. Иначе говоря, каждая точка этой линии отстоит от одной и той же точки на одинаковое расстояние. Такое определение помогает отличить окружность от других замкнутых линий и точно построить её.

Центр окружности — точка, от которой одинаково удалены все точки окружности. Обычно центр обозначают заглавной буквой, например O. Он показывает, где расположена окружность, и служит началом для проведения радиусов.

Радиус окружности — отрезок, соединяющий центр с любой точкой окружности; радиусом также называют его длину. Например, если A лежит на окружности с центром O, отрезок OA — радиус. Радиус нужен, чтобы задавать размер окружности и находить длину диаметра.

Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности; хорда, проходящая через центр, называется диаметром. Например, отрезок AB будет хордой, если A и B лежат на окружности. Если при этом O лежит на AB, хорда становится диаметром, а её особое положение позволяет связать её длину с радиусом.

Как это устроено

Окружность задаётся центром и расстоянием до него: меняя точку, но сохраняя это расстояние, получают все точки окружности. Представь, что один конец нити закреплён в центре, а другой описывает линию при движении. Длина нити остаётся неизменной, поэтому конец нити не приближается к центру и не удаляется от него. Чем длиннее выбранное расстояние, тем больше окружность.

Все радиусы одной окружности равны, потому что каждый из них равен расстоянию от центра до окружности. Точки, в которые они приходят, могут быть расположены в разных местах линии, но расстояние до центра для каждой точки одинаково. Поэтому радиусы отличаются направлением, а не длиной. Это свойство позволяет обозначать общую длину всех радиусов одной буквой r.

Диаметр проходит через центр и состоит из двух радиусов, поэтому его длина вдвое больше радиуса. От центра до одного конца диаметра получается один радиус, а от центра до другого — второй. Эти отрезки лежат на одной прямой по разные стороны от центра, поэтому их длины складываются. Если радиус равен 3 см, то диаметр равен 3 + 3 = 6 см; в общем виде d = 2r.

Любой диаметр является хордой, но не всякая хорда является диаметром: для этого она должна проходить через центр. У хорды достаточно того, что её концы лежат на окружности. Центр может оказаться в стороне от такого отрезка, и тогда его нельзя разделить на два радиуса. Чтобы проверить, является ли хорда диаметром, нужно установить, проходит ли она через центр.

Окружность — только линия, а круг включает эту линию и все точки внутри неё; это различие важно при описании фигур. Например, тонкий обод обозначает окружность, а заполненная внутренняя часть вместе с ободом — круг. Если говорят о точке на окружности, она находится на границе; точка внутри круга может не лежать на этой линии. Поэтому для задач важно точно понимать, о какой фигуре идёт речь.

Элементы окружности и их свойства

Таблица помогает быстро определить элемент по его описанию и вспомнить главное свойство. Если дан отрезок между точками окружности, сначала назови его хордой, а затем проверь, проходит ли он через центр. Для вычислений используй связь диаметра и радиуса: d = 2r.

Разбор задач

Задача 1. Построение окружности

Начерти окружность с центром O и радиусом 3 см, обозначь на ней точку A и проведи радиус OA. Здесь нужно получить линию, каждая точка которой находится от O на расстоянии 3 см. Поэтому раскрытие циркуля должно составлять 3 см, а игла останется в центре. После построения точку A можно выбрать в любом месте окружности.

1. Линейкой измерь 3 см и установи такое раскрытие циркуля.
2. Поставь иглу циркуля в точку O и, не меняя раскрытия, поверни карандашную ножку вокруг неё.
3. Отметь на полученной линии точку A и проведи отрезок OA линейкой. Его длина равна 3 см, потому что A лежит на окружности с радиусом 3 см.

Ответ: окружность построена с центром O и радиусом 3 см; OA — её радиус.

Задача 2. Найти диаметр по радиусу

Радиус окружности равен 4 см. Найди длину диаметра. Диаметр проходит через центр, поэтому состоит из двух радиусов, расположенных по разные стороны от центра. Значит, достаточно сложить две известные длины, а не искать новый отрезок измерением.

1. Запиши связь диаметра и радиуса: d = 2r.
2. Подставь r = 4 см: d = 2 · 4 см.
3. Вычисли произведение: d = 8 см.

Ответ: длина диаметра равна 8 см. Проверка: от центра до каждого конца диаметра по 4 см, а вместе эти части дают 8 см.

Задача 3. Хорда через центр

Хорда AB проходит через центр O, а OA = 5 см. Найди AB и объясни, почему отрезок является диаметром. По условию O лежит на хорде, значит, отрезок делится центром на части OA и OB. Точка B тоже лежит на окружности, поэтому OB — такой же радиус, как OA.

1. Так как AB проходит через центр и соединяет две точки окружности, это диаметр.
2. Найди второй радиус: OB = OA = 5 см.
3. Сложи части диаметра: AB = OA + OB = 5 + 5 = 10 см.

Ответ: AB — диаметр, его длина равна 10 см.

Типичные ошибки

Называть круг окружностью — значит смешивать границу и всю фигуру. Эту ошибку допускают, потому что в обычной речи их часто не различают. Проверь себя: если речь только о линии, это окружность; если включена внутренняя часть, это круг.

Считать любую хорду диаметром неверно: хорда становится диаметром только при прохождении через центр. Часто достаточно заметить, что отрезок соединяет две точки окружности, и на этом остановиться. Чтобы проверить себя, найди центр и выясни, лежит ли он на отрезке.

Путать радиус-отрезок и радиус как длину — значит смешивать геометрический объект с числом. Например, OA — отрезок, а 5 см — его длина; в задаче эти обозначения нельзя бездумно подменять друг другом. Проверь, спрашивают ли тебя назвать элемент чертежа или вычислить значение с единицами длины.

Утверждать, что у окружности только один радиус, ошибочно: радиус можно провести к любой точке окружности. Такое впечатление появляется, когда на чертеже нарисован лишь один отрезок. Проверь себя: мысленно выбери другие точки на линии — от центра к каждой можно провести новый радиус, и длина каждого будет прежней.

Связь с другими темами

Для изучения окружности полезно уметь распознавать точку и отрезок, находить расстояние между точками и пользоваться циркулем. Эти знания нужны при построении: циркуль задаёт постоянное расстояние, а отрезки показывают радиусы и хорды. Понятия радиуса, хорды и диаметра затем помогают разбирать геометрические фигуры и решать задачи на длины отрезков. Окружность также используют при построениях, а её свойства понадобятся при изучении длины окружности и площади круга.

Что запомнить

• Все точки окружности находятся на одном и том же расстоянии от её центра.
• Радиус соединяет центр с точкой окружности.
• Радиусы одной окружности равны.
• Хорда соединяет две точки окружности.
• Диаметр — хорда, проходящая через центр.
• Диаметр равен двум радиусам.
• Окружность — граница круга.