1.4. Окружность

Определения и обозначения

Окружность — замкнутая линия, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от одной точки. Представь, что карандаш движется вокруг неподвижной точки и всё время остаётся от неё на равном расстоянии: его след будет окружностью. Это определение помогает отличить окружность от других линий и понять, почему для её построения нужен центр.

Центр окружности — точка, от которой одинаково удалены все точки окружности. Обычно центр обозначают заглавной латинской буквой, например O. Зная центр, можно точно указать, откуда измерять расстояние до окружности и где поставить иглу циркуля.

Радиус — отрезок, соединяющий центр окружности с любой её точкой; также радиусом называют длину этого отрезка. Например, если точка A лежит на окружности с центром O, отрезок OA — радиус. Радиус нужен, чтобы задавать размер окружности и строить её; поэтому важно понимать, говорится ли об отрезке или о его длине.

Диаметр — отрезок, соединяющий две точки окружности и проходящий через её центр. Он пересекает окружность с двух сторон, а центр находится на самом отрезке. Диаметр помогает находить расстояние между противоположными точками окружности и связан с радиусом: в нём помещаются два радиуса.

Как это устроено

Окружность задаётся центром и расстоянием от него до любой её точки: это расстояние называют радиусом. Достаточно выбрать точку O и длину радиуса, чтобы определить, где должна проходить линия: на ней будут все точки, удалённые от O на выбранную длину. Если изменить расстояние, получится окружность другого размера, даже если центр останется прежним.

Все радиусы одной окружности равны, потому что каждый из них измеряет одно и то же расстояние от центра до окружности. Можно провести от центра отрезки к разным точкам линии: конец каждого отрезка лежит на окружности, а значит, удалён от центра на одинаковое расстояние. Поэтому радиус не зависит от того, какую точку окружности мы выбрали.

Диаметр проходит через центр и состоит из двух радиусов, поэтому его длина в два раза больше длины радиуса. Центр делит диаметр на две равные части: от центра до каждого конца получается радиус. Если радиус равен 4 см, то весь диаметр равен 4 + 4 = 8 см; если известен диаметр, радиус находят делением его длины на два.

Окружность можно построить циркулем: иглу ставят в центр, раскрытие циркуля задаёт радиус, а вращение карандаша проводит линию на неизменном расстоянии от центра. Расстояние между иглой и карандашом не меняется, пока раскрытие циркуля остаётся постоянным. Поэтому все точки начерченной линии оказываются равноудалены от центра. Если раздвигать или сдвигать ножки во время черчения, это условие нарушится.

Чтобы сравнить окружности, достаточно сравнить их радиусы; окружности с одинаковыми радиусами равны. Размер окружности определяется расстоянием от её центра до линии, а не местом, где расположен центр на листе. Поэтому две окружности могут иметь разные центры, но совпадать по размеру, если радиусы равны. Это удобно проверять циркулем: можно перенести одно раскрытие на другой центр и сравнить построенные линии.

Основные элементы окружности

Сначала найди в таблице нужный элемент и прочитай, как он определяется. Затем проверь по третьему столбцу главное свойство: например, диаметр обязан проходить через центр. Для вычислений используй последнюю строку: по радиусу находи диаметр умножением на 2, а по диаметру — радиус делением на 2.

Разбор задач

Постройте окружность с центром O и радиусом 3 см.

Нужно, чтобы каждая точка построенной линии находилась от O ровно на 3 см. Циркуль сохраняет это расстояние, если его раскрытие не меняется во время черчения. Поэтому сначала зададим раскрытие по линейке, а затем проведём линию вокруг центра.

1. Приложите циркуль к линейке и установите расстояние между иглой и карандашом 3 см.
2. Поставьте иглу в точку O, не сдвигая её после начала построения.
3. Поверните циркуль вокруг иглы так, чтобы карандаш провёл замкнутую линию.

Проверьте, что раскрытие циркуля всё время оставалось одинаковым. Тогда расстояние от центра до линии будет равняться 3 см во всех направлениях. Ответ: построена окружность с центром O и радиусом 3 см.

Радиус окружности равен 4 см. Найдите длину её диаметра.

Диаметр проходит через центр от одной точки окружности до другой. Поэтому он складывается из двух частей: от центра до первого конца и от центра до второго конца. Обе части равны радиусу, значит, для нахождения диаметра нужно взять радиус два раза.

1. Запишите длину радиуса: r = 4 см.
2. Умножьте её на 2: d = 2 · 4 = 8 см.
3. Укажите единицы измерения, которые были даны в условии.

Полученное значение больше радиуса, как и должно быть: диаметр состоит из двух радиусов. Ответ: длина диаметра равна 8 см.

Диаметр окружности равен 10 см. Найдите её радиус и объясните, как построить эту окружность.

Сначала нужно найти раскрытие циркуля, потому что оно должно быть равно радиусу, а в условии дана длина диаметра. Диаметр состоит из двух одинаковых частей-радиусов, поэтому делим 10 см пополам. После этого можно выбрать центр и построить окружность с найденным раскрытием.

1. Разделите диаметр на 2: r = 10 : 2 = 5 см.
2. Отложите по линейке раскрытие циркуля 5 см.
3. Выберите и отметьте центр, поставьте в него иглу циркуля.
4. Не меняя раскрытия, поверните циркуль и проведите окружность.

Проверка: два радиуса по 5 см составляют диаметр 10 см, указанный в условии. Значит, и размер окружности выбран верно. Ответ: радиус равен 5 см; для построения нужен циркуль с раскрытием 5 см и выбранный центр.

Типичные ошибки

Иногда радиусом называют только число, например «3 см», и забывают, что радиус — ещё и отрезок от центра до окружности. Так происходит, потому что в задачах часто спрашивают именно длину. Проверяй себя вопросом: требуется показать отрезок на чертеже или назвать его длину? Для отрезка укажи центр и точку на окружности, а для длины запиши число с единицей измерения.

Ошибка — считать, что диаметр равен радиусу. Их путают, если не замечают, что диаметр идёт от одного края окружности до другого через центр и включает два радиуса. Проверь вычисление: диаметр должен быть в два раза длиннее радиуса, а радиус — в два раза короче диаметра.

Можно провести отрезок между двумя точками окружности и назвать его диаметром, хотя он не проходит через центр. Такой отрезок соединяет точки линии, но этого недостаточно для диаметра. Чтобы проверить себя, отметь центр и убедись, что он лежит на отрезке; если не лежит, это не диаметр.

При построении окружности иногда меняют раскрытие циркуля, потому что ножки сдвигаются во время движения. Тогда карандаш оказывается то ближе, то дальше от центра, и линия не является окружностью с одним радиусом. Удерживай раскрытие постоянным и проверь построение: расстояния от центра до разных точек линии должны быть одинаковыми.

Связь с другими темами

Для работы с окружностью пригодятся навыки измерения и откладывания отрезков: именно так задают радиус и настраивают циркуль. Умение находить середину отрезка помогает понять, где расположен центр на диаметре, а линейка и циркуль нужны для построений и проверок. Позже окружность встретится при изучении геометрических фигур и построений. Связь диаметра и радиуса также помогает решать задачи на длины отрезков.

Что запомнить

• Все точки окружности равноудалены от её центра.
• Расстояние от центра до окружности — радиус.
• Все радиусы одной окружности равны.
• Диаметр проходит через центр и соединяет две точки окружности.
• Диаметр равен двум радиусам.
• Для построения окружности циркулем его раскрытие должно оставаться неизменным.