1.3. Длина линии

Определения и обозначения

Длина отрезка — расстояние между его концами, которое измеряют выбранной единицей длины. Например, длину можно записать в сантиметрах или миллиметрах. Это определение помогает понять, что именно показывает измерение: протяжённость от одного конца отрезка до другого. Без единицы число не сообщает, насколько длинен отрезок.

Ломаная линия — линия, составленная из последовательно соединённых отрезков; каждый такой отрезок называют звеном. Длина ломаной равна сумме длин её звеньев. Это правило нужно, чтобы находить общую длину пути по всем поворотам ломаной, а не только расстояние между её началом и концом. Каждое звено в сумме учитывают один раз.

Длина линии — величина, показывающая, насколько протяжённа линия. Для прямой линии её измеряют непосредственно, а для кривой используют подходящий способ измерения. Так можно сравнивать линии разной формы: изгибы меняют форму, но сама длина показывает протяжённость всей линии. Записывая результат, указывают и число, и единицу измерения.

Как это устроено

Чтобы измерить длину отрезка, сначала выбирают единицу, например сантиметр, и выясняют, сколько раз она укладывается на отрезке. На линейке эта единица уже нанесена делениями, поэтому отрезок удобно приложить к шкале. Отсчёт начинают с нуля: если начать с другой отметки, число на конце покажет положение конца, а не длину отрезка. Если целое число единиц не получается, измерение уточняют более мелкими единицами, например миллиметрами.

У ломаной несколько звеньев, и каждое занимает часть её полного пути. Поэтому длину находят сложением длин всех звеньев: сумма учитывает путь целиком, в том числе повороты. Если какое-то звено пропустить, результат окажется меньше настоящей длины. Если сосчитать его два раза, результат, наоборот, будет больше.

Сравнивать длины удобно, когда обе измерены одной и той же единицей. Например, число сантиметров можно напрямую сопоставить с другим числом сантиметров, но не всегда можно сравнить его с числом метров без пересчёта. Единица показывает, какую меру использовали, поэтому без неё запись неполная. По этой же причине перед сложением длин нужно проверить, одинаково ли они записаны.

Кривая линия изгибается, поэтому прямая линейка не совпадает с ней по всей длине. Если приложить линейку только между концами кривой, получится прямой отрезок — расстояние между концами, а не длина самой линии. Подходящий способ — уложить вдоль кривой гибкую нить, отметить её начало и конец, а затем распрямить. Тогда нить станет отрезком, длину которого уже можно измерить линейкой.

При переходе между единицами учитывают, во сколько раз одна единица больше другой. Например, в одном метре сто сантиметров, поэтому метры переводят в сантиметры умножением на 100. В одном сантиметре десять миллиметров, значит, число сантиметров при переводе в миллиметры умножают на 10. Такой пересчёт позволяет получить одинаковые единицы и только потом сравнивать или складывать длины.

Как находить длину разных линий

В таблице собраны способы измерения трёх видов линий. Сначала найди строку, которая подходит к задаче, а затем используй указанный способ. В последнем столбце проверь, как записать результат, чтобы он был понятен.

Разбор задач

Задача 1. Измерьте отрезок AB линейкой и запишите его длину в сантиметрах. Чтобы не получить неверное показание, важно начать отсчёт с нулевой отметки. Само значение зависит от того, какой отрезок дан, поэтому его нужно считать по шкале линейки.

1. Положим линейку вдоль отрезка AB, чтобы деления шли параллельно ему.
2. Совместим отметку 0 с концом A и посмотрим, напротив какой отметки находится конец B.
3. Запишем найденное число сантиметров с обозначением см.

Ответ: длина AB равна числу сантиметров, показанному у конца B. Например, если B оказался напротив отметки 7 см, то AB = 7 см. Если конец попал между сантиметровыми отметками, измерение можно уточнить по миллиметровым делениям.

Задача 2. Длины звеньев ломаной равны 3 см, 5 см и 4 см. Нужно найти длину всей ломаной. Поскольку она состоит из трёх звеньев, ни одно из них нельзя пропустить. Все длины уже выражены в сантиметрах, поэтому их можно складывать сразу.

1. Запишем длины всех звеньев: 3 см, 5 см и 4 см.
2. Сложим их: 3 + 5 + 4 = 12.
3. Оставим единицу измерения, общую для всех звеньев, — сантиметр.

Ответ: длина ломаной равна 12 см. Проверим, что в сумме есть все три значения: 3 см относится к первому звену, 5 см — ко второму, 4 см — к третьему. Значит, каждое звено учтено один раз.

Задача 3. Кривую линию измерили нитью: её длина оказалась 18 см. Выразите эту длину в миллиметрах. Здесь не требуется заново измерять кривую, потому что её длина уже найдена. Нужно только заменить сантиметры миллиметрами, учитывая соотношение между единицами.

1. Вспомним, что 1 см = 10 мм.
2. Значит, в 18 см содержится 18 раз по 10 мм: 18 × 10 = 180.
3. Запишем результат в миллиметрах, как требует условие задачи.

Ответ: 18 см = 180 мм. При переводе сантиметров в миллиметры число увеличилось в 10 раз, потому что миллиметр меньше сантиметра. Обратную проверку можно сделать делением: 180 мм : 10 = 18 см.

Типичные ошибки

• Измеряют отрезок, начиная не от нулевой отметки линейки, и принимают показание шкалы за его длину. Так происходит, если забыть, что линейка показывает положение конца относительно начала отсчёта. Для проверки поставь ноль у первого конца и повтори измерение. Если начало совпадает с другой отметкой, найди разность показаний концов.

• При вычислении длины ломаной пропускают звено или прибавляют одно звено дважды. Это легко допустить, если не следить за порядком отрезков. Проверь себя, перечислив звенья по очереди и отметив, что каждому соответствует ровно одно слагаемое. Число слагаемых должно совпадать с числом звеньев.

• Пытаются измерить кривую линию прямой линейкой и получают расстояние между её концами. Прямая линейка не повторяет изгибы, поэтому её показание не равно длине кривой. Проверь, проходит ли измерительный инструмент вдоль всей линии. Для изгибов используй нить, а затем измерь распрямлённый отрезок.

• Складывают или сравнивают длины, записанные в разных единицах, без перевода. Например, сантиметры и метры нельзя складывать как обычные числа, не учитывая соотношение между ними. Перед вычислением проверь обозначения единиц во всех слагаемых. Приведи величины к одной единице и только тогда сравнивай или складывай.

Связь с другими темами

До измерения полезно уметь пользоваться линейкой и знать, что отрезок — это часть прямой с двумя концами. Тогда можно правильно приложить линейку и определить, где начинается и заканчивается измеряемая фигура. Эти умения помогают избежать ошибок при записи результата.

Длина нужна при изучении периметра многоугольника. Периметр — это длина границы фигуры, поэтому его находят сложением длин сторон. Стороны многоугольника образуют замкнутую ломаную, а значит, правило сложения звеньев помогает вычислить периметр.

Измерение связано и с переводом единиц длины: миллиметров, сантиметров, дециметров, метров и километров. Перевод нужен, когда длины записаны по-разному или требуется ответ в определённой единице. Умение учитывать соотношения между единицами помогает сравнивать результаты измерений и решать задачи.

Что запомнить

• Длину отрезка измеряют линейкой или другой мерой длины.
• При измерении указывают единицу длины.
• Длина ломаной равна сумме длин её звеньев.
• Кривую линию можно измерить нитью, а затем измерить распрямлённую нить.
• Сравнивая длины, сначала вырази их в одинаковых единицах.
• 1 м = 100 см, а 1 см = 10 мм.