3. Длина линии

Определения и обозначения

Линия — это геометрическая фигура, которая может быть прямой, ломаной или кривой. Прямая линия не меняет направления, ломаная состоит из нескольких соединённых отрезков, а кривая плавно изгибается. По виду линии можно выбрать подходящий способ её измерения. Например, отрезок удобно измерить линейкой, а для кривой понадобится нить.

Длина линии — это числовая величина, показывающая, сколько единичных отрезков укладывается вдоль линии. Её записывают числом и единицей измерения: например, 7 см или 2 м. Единицей может быть сантиметр, метр, миллиметр и другие меры длины. Такое обозначение помогает понять не только число, но и размер измеренной линии.

Длина ломаной равна сумме длин всех её звеньев. Звенья — это отрезки, из которых составлена ломаная, поэтому для результата нужно учесть каждое из них. Сначала измеряют каждое звено, а затем складывают значения. Это определение помогает находить общую длину пути, который проходит по всем частям ломаной.

Периметр многоугольника — это длина замкнутой ломаной, образующей его границу. Замкнутая ломаная начинается и заканчивается в одной точке, а её звенья становятся сторонами многоугольника. Поэтому, чтобы найти периметр, складывают длины всех сторон. Периметр показывает, сколько нужно пройти вдоль всей границы фигуры.

Как это устроено

Чтобы сравнить длины двух линий, их можно наложить друг на друга, если это возможно: совместить начала и посмотреть, где заканчивается каждая. Если одну линию нельзя удобно переместить или линии имеют сложную форму, измеряют обе одной и той же единицей. Общая единица нужна для честного сравнения: сантиметры можно сопоставить с сантиметрами, а не с метрами без перевода. Так становится понятно, какая линия длиннее или равны ли их длины.

Число при измерении меняется вместе с выбранной единицей, потому что в короткой единице вдоль линии укладывается больше отрезков. Например, одна и та же длина может быть записана как 1 м или 100 см. Это разные числа, но они описывают один и тот же участок: метр содержит сто сантиметров. Поэтому при смене единицы меняется запись, а не сама длина линии.

Длину ломаной находят, складывая длины её звеньев, потому что весь путь состоит из этих участков. Сначала измеряют каждый отрезок линейкой и записывают результат с единицей. Затем складывают измерения; если единицы разные, сначала переводят их в одну. Так учитывается весь путь, а не только расстояние между его началом и концом.

Периметр многоугольника находят сложением длин всех его сторон, ведь стороны вместе образуют границу. Если у фигуры есть одинаковые стороны, одинаковые слагаемые можно заменить умножением. Например, у прямоугольника две стороны имеют длину a, а две другие — b, поэтому периметр равен a + b + a + b, или 2 · (a + b). Умножение сокращает вычисления, но подходит только тогда, когда учтены все стороны.

Кривую линию трудно измерить линейкой напрямую: линейка прямая и не повторяет изгибы. Поэтому вдоль линии аккуратно прокладывают нить, не натягивая её так, чтобы она срезала повороты. Отмечают концы нужного участка, снимают нить и распрямляют её. Затем измеряют нить линейкой; результат будет приближённым, потому что укладывать нить точно по изгибам непросто.

Как находят длину линии

В таблице собраны способы измерения разных линий и то, что нужно проверить при вычислении. Сначала определи вид линии, затем выбери соответствующий способ. Если длины предстоит складывать или сравнивать, приведи их к одинаковым единицам.

Разбор задач

Длины трёх звеньев ломаной равны 4 см, 6 см и 3 см. Найдём длину всей ломаной. Поскольку она состоит именно из этих трёх звеньев, нужно сложить все три длины. Единицы уже одинаковые, поэтому переводить их не требуется.

1. Запишем длины звеньев: 4 см, 6 см и 3 см. Проверим, что в условии перечислены все части ломаной. Ни одно звено не оставляем без учёта.
2. Сложим длины: 4 + 6 + 3 = 13. Сантиметры остаются сантиметрами, потому что складываем величины с одинаковыми единицами. Значит, общая длина равна 13 см.

Ответ: 13 см.

Стороны прямоугольника равны 8 см и 5 см. У прямоугольника противоположные стороны равны, поэтому его четыре стороны имеют длины 8 см, 5 см, 8 см и 5 см. Периметр — это длина всей границы, значит, нужно учесть каждую сторону. Можно сложить их по отдельности или объединить равные стороны.

1. Сложим длины всех сторон: 8 + 5 + 8 + 5 = 26 см. Этот способ сразу показывает, что учтены все четыре стороны. Получаем длину границы прямоугольника.
2. Проверим вычисление другим способом: удвоим сумму двух разных сторон. 2 · (8 + 5) = 2 · 13 = 26 см, так как каждая из двух длин встречается два раза. Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: периметр прямоугольника равен 26 см.

Кривую линию измерили нитью, и длина нити оказалась 17 см. Затем эту линию заменили ломаной длиной 15 см. Нужно сравнить две измеренные длины, помня, что результат для кривой получен с помощью нити и может быть приближённым. Сравнивать удобно, потому что обе величины выражены в сантиметрах.

1. Запишем длины: кривая линия — примерно 17 см, ломаная — 15 см. Обе величины даны в одной единице, поэтому перевод не нужен. Сравним числа 17 и 15.
2. Так как 17 больше 15, измеренная нитью кривая линия длиннее ломаной на 17 − 15 = 2 см. Разность относится к полученным измерениям, а не к точности идеального измерения. Нить могла лечь по изгибам не совсем точно.
3. Длину кривой получили так: нить проложили вдоль линии, распрямили и измерили линейкой. Ломаную можно измерить по её звеньям и сложить их длины. Сравнение показывает, что измеренная длина кривой больше на 2 см.

Ответ: кривая линия длиннее ломаной на 2 см по результатам измерений; длина кривой определена приближённо.

Типичные ошибки

При нахождении длины ломаной иногда складывают не все звенья, а при вычислении периметра пропускают сторону. Такое случается, когда считают только заметные или уже измеренные участки. Проверь себя: пройди границу по порядку от начала до конца и отметь каждое звено или сторону. Число слагаемых должно совпадать с числом участков.

Нельзя складывать длины, записанные в разных единицах, как будто единицы одинаковы. Например, в записи 2 м + 30 см числа 2 и 30 нельзя просто сложить: метр и сантиметр имеют разный размер. Сначала переведи одну величину, например 2 м = 200 см, и получи 230 см. Проверяй единицы рядом с каждым числом до вычисления.

Форма линии не определяет её длину: извилистая линия может оказаться короче другой линии, даже если выглядит сложнее. Ошибка возникает, когда длину оценивают только на глаз по количеству изгибов или размеру рисунка. Чтобы проверить сравнение, измерь линии одной единицей либо наложи их, если это возможно. Ориентируйся на измеренную длину, а не на внешний вид.

Кривую линию нельзя правильно измерить линейкой, просто приложив её по прямой от начала до конца. Так измерится расстояние между концами, а изгибы останутся неучтёнными. Проложи вдоль кривой нить, распрями её и измерь линейкой. Для самопроверки убедись, что нить повторяла всю линию, а не срезала её повороты.

Связь с другими темами

Для измерения линии нужны знания о единицах длины и умение пользоваться линейкой: без них нельзя получить точное числовое значение. Понятие длины ломаной помогает находить периметр многоугольников и решать задачи о длине границы фигуры. Такие измерения встречаются и в геометрических построениях, когда нужно отложить отрезок заданной длины. В повседневной жизни длину измеряют, например, при разметке предметов или подсчёте пути вдоль границы участка.

Что запомнить

• Длину линии выражают числом и единицей длины.
• Длина ломаной равна сумме длин её звеньев.
• Периметр многоугольника — длина его границы.
• Перед сложением длины нужно выразить в одинаковых единицах.
• Кривую линию можно измерить нитью, приложив её вдоль линии.
• Форма линии и её длина — не одно и то же.