2. Прямая. Части прямой. Ломаная

Определения и обозначения

Прямая — линия, которая не имеет ни начала, ни конца. Её обозначают строчной латинской буквой или двумя заглавными буквами, например прямой AB, соответствующими точкам A и B на ней. Две точки помогают точно указать, о какой прямой идёт речь. Такое обозначение удобно использовать в чертежах и записях.

Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками; эти точки называют его концами. Отрезок AB начинается в A и заканчивается в B, поэтому его можно измерить линейкой. Измерение нужно, когда требуется сравнить расстояния или найти длину фигуры. В отличие от прямой, отрезок целиком помещается на чертеже.

Луч — часть прямой, которая имеет начало, но не имеет конца. Его называют двумя заглавными буквами: сначала пишут букву начала, затем букву ещё одной точки на луче, например луч AB. Порядок букв подсказывает, в какую сторону он направлен. Это помогает не спутать два луча с общим началом.

Ломаная — фигура из нескольких последовательно соединённых отрезков. Отрезки называют звеньями ломаной, а их общие концы — вершинами. Названия вершин обычно записывают по порядку: ломаная ABCD состоит из звеньев AB, BC и CD. Так можно понять, какие именно отрезки составляют фигуру.

Как это устроено

Через любые две точки можно провести единственную прямую. Если бы через те же точки проходили разные прямые, они не совпадали бы, хотя обе проходили бы через A и B; однако по двум точкам направление линии уже определено. Поэтому прямую можно обозначить двумя заглавными буквами точек на ней, например AB. Иногда для краткости ей дают строчную латинскую букву, если такая буква указана рядом на чертеже.

Две точки на прямой выделяют часть линии между ними — отрезок. Они становятся его концами, дальше которых отрезок не продолжается. Между концами можно приложить линейку и измерить расстояние, поэтому длина отрезка имеет определённое значение. Прямая, напротив, бесконечна, и измерить всю её длину нельзя.

Одна точка на прямой разделяет её на две части, и каждая часть становится лучом с началом в этой точке. Например, точка A даёт два луча, направленных в противоположные стороны. Каждый из них продолжается только в одну сторону от начала, потому что другая сторона прямой относится ко второму лучу. Точка B помогает назвать один из них: луч AB начинается в A и проходит через B.

В ломаной отрезки соединяются концами: конец одного звена становится началом следующего. Поэтому у соседних звеньев есть общая вершина, например у AB и BC это точка B. Звенья, между которыми есть другое звено, называют несоседними; они могут не пересекаться. Если такие звенья пересеклись, это всё равно не делает их соседними: соседство определяется порядком соединения в ломаной.

Если конец последнего звена не совпадает с началом первого, ломаная незамкнутая; если совпадает — замкнутая. Это различие показывает, образует ли путь контур. Чтобы найти длину любой ломаной, измеряют каждое звено и складывают полученные длины: ни одного звена нельзя пропустить. Например, у звеньев длиной 3 см, 4 см и 2 см общая длина равна 3 + 4 + 2 = 9 см.

Сравнение прямой, отрезка, луча и ломаной

Сначала посмотрите, есть ли у фигуры начало и конец, а затем решите, можно ли измерить её целиком. У ломаной измеряют не «линию сразу», а длины её отдельных звеньев и складывают их. Последний столбец помогает вспомнить обозначение или устройство фигуры.

Разбор задач

Задача 1

Условие: отметьте точки A и B и проведите через них прямую. Запишите её обозначение двумя способами. Через две точки проходит единственная прямая, значит, после отметки точек нужно провести одну линию через обе. На чертеже она будет показана не полностью, поскольку прямая продолжается за границы рисунка.

1. Отметьте точки A и B и приложите линейку так, чтобы её край проходил через обе точки.
2. Проведите линию в обе стороны за точки: это изображение прямой, а не отрезок AB.
3. Обозначьте её прямой AB по точкам на ней. Если рядом с прямой поставить строчную букву, например a, это будет второй способ обозначения.

Ответ: прямая AB, или прямая a. Обе записи относятся к одной и той же прямой, если буква a поставлена именно у неё. Отрезок AB обозначал бы только часть между точками A и B.

Задача 2

Условие: на прямой отмечены точки A и B, причём B лежит справа от A. Назовите лучи с началом в A и укажите, чем они отличаются от отрезка AB. Чтобы назвать луч, сначала указывают точку начала, а затем точку, задающую направление. Точка B лежит справа, поэтому луч AB идёт от A через B вправо.

1. Представьте, что прямая продолжается в обе стороны от A.
2. Выберите направление вправо, проходящее через B: это луч AB.
3. Выберите противоположное направление, влево от A. Для его названия нужна ещё одна отмеченная точка C слева от A, и тогда это луч AC.
4. Сравните фигуры: отрезок AB заканчивается в B, а луч AB после B продолжается дальше.

Ответ: вправо направлен луч AB; влево направленный луч можно назвать AC, если точка C отмечена слева от A. У отрезка AB два конца — A и B, а у каждого из лучей с началом A есть только начало A. Поэтому луч нельзя измерить целиком, а отрезок можно.

Задача 3

Условие: ломаная ABCD состоит из звеньев AB, BC и CD длиной 3 см, 4 см и 2 см. Найдите её длину и укажите вершины. Ломаная названа буквами по порядку, поэтому соседние пары букв сразу показывают её звенья. Чтобы узнать общую длину, нужно учесть каждое звено ровно один раз.

1. Выпишите длины всех звеньев: AB — 3 см, BC — 4 см, CD — 2 см.
2. Сложите длины: 3 + 4 + 2 = 9.
3. Назовите вершины в порядке прохождения ломаной: A, B, C и D.

Ответ: длина ломаной ABCD равна 9 см; её вершины — A, B, C и D. Сложение относится к длинам отрезков, а не к названиям или расположению букв. Если одно звено пропустить, полученная сумма будет меньше длины всей ломаной.

Типичные ошибки

Иногда считают, что прямая имеет начало или конец, потому что на рисунке линия выглядит ограниченной. Так происходит из-за границ листа или чертежа, но показан лишь небольшой участок бесконечной прямой. Проверьте себя: если речь о прямой, мысленно продолжите её в обе стороны; у неё не должно быть концов.

Отрезок и луч путают, потому что оба можно изобразить линией от отмеченной точки. Но у отрезка два конца, а у луча только начало и продолжение в одном направлении. Чтобы проверить ответ, посчитайте концы: две ограничивающие точки означают отрезок, одна точка начала — луч.

Луч иногда называют одной буквой или пишут буквы в обратном порядке. Причина ошибки — забывают, что первая буква показывает именно начало, а второй задают направление луча. Сверьте запись с чертежом: у луча AB его начало должно быть в A, а точка B должна лежать дальше по лучу.

При вычислении длины ломаной можно забыть звено или сложить буквы и координаты вершин вместо длин. Так случается, если не выписать отдельно все отрезки. Для проверки пройдите по ломаной от начала до конца, отметьте каждое звено один раз и сложите только указанные или измеренные длины.

Связь с другими темами

Чтобы работать с прямыми, отрезками и лучами, нужно уметь отмечать точки, пользоваться линейкой и измерять длину отрезка. Эти навыки пригодятся при изучении углов: их стороны являются лучами с общим началом. Координатный луч используют, чтобы задавать положение чисел на линии, а отрезки помогают строить геометрические фигуры. Стороны многоугольника образуют замкнутую ломаную; сумма их длин называется периметром.

Что запомнить

• Через две точки проходит единственная прямая.
• Прямая не имеет ни начала, ни конца.
• Отрезок ограничен двумя концами.
• Луч имеет начало и продолжается в одном направлении.
• Ломаная состоит из последовательно соединённых отрезков.
• Длина ломаной равна сумме длин её звеньев.