1. Разнообразный мир линий

Определения и обозначения

Линия — геометрическая фигура, состоящая из точек. На бумаге её можно представить как след карандаша, но след может быть прямым, плавно изгибаться или поворачивать. Понятие линии помогает описывать форму разных фигур и частей рисунка.

Прямая линия — линия без изгибов, которая на чертеже выглядит ровной. Если вести карандаш по ней, направление не меняется. Это отличает прямую от линий, в которых есть плавный изгиб или поворот.

Кривая линия плавно меняет направление и не образует углов. Например, так выглядит нарисованная дуга или волнистый след. Это название помогает отличать плавные изгибы от резких поворотов.

Ломаная линия состоит из отрезков, соединённых последовательно концами. Отрезки образуют её части, а места их соединения задают повороты. Это определение позволяет считать части ломаной и описывать её устройство.

Как это устроено

По форме линии различают как прямые, кривые и ломаные. У прямой нет изгиба, у кривой направление меняется плавно, а у ломаной — при переходе от одного отрезка к другому. Поэтому при распознавании смотрят на устройство линии, а не на то, какого она цвета, насколько длинная или где расположена на листе.

Чтобы получить ломаную, соединяют отрезки концами так, чтобы конец одного отрезка совпал с концом следующего. Каждый отдельный отрезок называют звеном, а каждую точку соединения соседних звеньев — вершиной. Считать их нужно отдельно: звенья — это части линии, вершины — точки, в которых эти части встречаются. Например, если начертить четыре отрезка цепочкой, получится ломаная из четырёх звеньев.

Линия бывает замкнутой, когда её начало и конец находятся в одной точке. Если начальная и конечная точки разные, линия незамкнутая. Это различие связано именно с концами линии: внешне она может выглядеть почти замкнутой, но если между концами остался промежуток, она незамкнута. Так можно точно определить вид линии, даже если её форма сложная.

Линия может пересечь саму себя или другую линию. В месте пересечения они имеют общую точку, и именно эту точку отмечают на рисунке. При этом пересекающиеся линии не обязательно соединены концами: одна может проходить через другую. Пересечение также не говорит о замкнутости, потому что для неё проверяют совпадение начала и конца.

Линию можно встретить внутри рисунка или использовать как границу фигуры. Но наличие линии ещё не означает, что она ограничивает какую-то область: незамкнутая линия оставляет путь наружу. Чтобы линия служила границей замкнутой области, она должна образовать замкнутый контур. Поэтому при описании рисунка полезно отдельно сказать, где проходит линия и замкнута ли она.

Виды линий и их признаки

Сравнивай линии по каждому признаку отдельно: сначала по форме, затем по составу и наличию углов. Замкнутость не определяет вид линии, поэтому её проверяют отдельно. Таблица помогает не путать плавный изгиб кривой с поворотом ломаной.

Разбор задач

Задача 1. Рассмотри несколько изображений и определи, где прямая линия, где кривая, а где ломаная. Не обращай внимания на цвет, длину и положение рисунка: они не меняют вид линии.

1. Сначала проверь, есть ли у линии изгибы или повороты.
2. Если линия ровная и не меняет направления, это прямая.
3. Если направление меняется плавно, без углов, это кривая.
4. Если видны отдельные отрезки и повороты в точках соединения, это ломаная.

Ответ: назови каждый рисунок по его форме: прямой, кривой или ломаной линией. Если сомневаешься, проследи путь карандашом: плавный изгиб будет у кривой, а резкий поворот между отрезками — у ломаной.

Задача 2. Начерти незамкнутую ломаную из четырёх звеньев и обозначь её вершины. Нужно получить цепочку из отрезков, у которой начало и конец находятся в разных точках.

1. Поставь на листе пять точек так, чтобы соседние точки не лежали на одной прямой.
2. Соедини первую точку со второй, вторую с третьей, третью с четвёртой и четвёртую с пятой.
3. Посчитай отрезки: их четыре, значит, у ломаной четыре звена.
4. Обозначь буквой точки соединения соседних звеньев; это вершины ломаной.

Ответ: получилась незамкнутая ломаная из четырёх звеньев. У неё пять отмеченных точек: две конечные и три вершины. Начало и конец не совпадают, поэтому ломаная незамкнутая.

Задача 3. Линия пересекает сама себя, а её концы не совпадают. Определи, замкнута ли она, и укажи точку пересечения. Пересечение может находиться внутри линии, а не на её конце.

1. Найди два участка линии, которые пересекаются.
2. Отметь место, где эти участки имеют общую точку.
3. Отдельно сравни начало и конец линии: по условию они не совпадают.
4. Сделай вывод о замкнутости, не подменяя эту проверку поиском пересечений.

Ответ: линия незамкнута, потому что её концы не совпадают. Точка, в которой участки линии пересекаются, — общая точка этих участков. Самопересечение не превращает линию в замкнутую.

Типичные ошибки

Ломаную называют кривой, потому что она меняет направление. Так происходит, если обращать внимание только на то, что линия «поворачивает». Проверь, есть ли плавный изгиб или отдельные прямые отрезки: у ломаной поворот происходит в вершине, у кривой направление меняется плавно.

Путают звенья и вершины. Звено — отрезок, а вершина — точка соединения отрезков; их названия могут перепутать, если считать всё подряд. Проведи пальцем по ломаной и отдельно сосчитай отрезки, а затем точки, в которых соседние отрезки сходятся. Так проверка будет точной.

Считают линию замкнутой из-за самопересечения. Пересечение заметно на рисунке и может создать впечатление, что путь замкнулся. Но нужно сравнить именно начало и конец: если это разные точки, линия незамкнута. Пересечение не заменяет совпадение концов.

Принимают пересечение за соединение концами. Линии могут встретиться в точках, расположенных внутри них, поэтому место встречи не обязательно является концом. Проверь, заканчивается ли линия в общей точке или просто проходит через неё. Если обе линии продолжаются после пересечения, их концы там не соединены.

Связь с другими темами

Чтобы разбираться в линиях, нужно знать, что такое точка и отрезок, а также уметь проводить прямую линию с помощью линейки. Отрезки — строительные части ломаной, а точки помогают отмечать её вершины и пересечения. Эти знания позволяют аккуратно чертить и описывать разные фигуры.

Понятия линии и замкнутой границы пригодятся при изучении многоугольников и периметра. Многоугольник имеет замкнутую границу из отрезков, а его стороны связаны с ломаной. Чтобы понять, какую границу измеряют при нахождении периметра, нужно видеть, где она проходит и замкнута ли.

Что запомнить

• Линии различаются по форме.
• Ломаная состоит из отрезков, соединённых концами.
• Отрезки ломаной называют звеньями, а точки соединения — вершинами.
• У замкнутой линии начало и конец совпадают.
• Пересечение линий — их общая точка.
• Пересечение само по себе не делает линию замкнутой.