Линии

Определения и обозначения

Линия — это след движения точки. Представь, что точка оставляет за собой след, пока движется по листу: этот след и называют линией. Такое представление помогает описывать разные формы, не привязываясь к конкретному предмету.

Прямая линия не изгибается и продолжается в обе стороны без конца. На листе её можно изобразить только частью, потому что весь путь прямой не поместится на чертеже. Это понятие нужно, чтобы отличать прямую от ограниченного отрезка.

Кривая линия изгибается, то есть её направление меняется. Она может быть замкнутой, если начало соединено с концом, или незамкнутой, если эти точки раздельны. Так можно описать и форму линии, и то, образует ли она замкнутый контур.

Ломаная линия состоит из нескольких отрезков, соединённых последовательно. Каждый такой отрезок называется звеном ломаной. Это название помогает разбирать линию на части и считать их, а не воспринимать её как один сплошной изгиб.

Как это устроено

На чертеже прямая обычно выглядит как проведённый штрих, иногда с маленькими стрелками на концах. Стрелки напоминают, что прямая продолжается дальше нарисованного участка. Если ограничить линию двумя точками и не продолжать её за ними, получится отрезок, а не вся прямая. Поэтому края штриха на рисунке нельзя автоматически считать концами прямой.

У прямой нет изгибов: если проследить её взглядом, она всё время сохраняет одно направление. Кривая, наоборот, хотя бы в одном месте меняет направление и изгибается. Чтобы определить вид линии, сравни форму, а не длину или толщину: короткая линия тоже может быть прямой, а длинная — кривой. Такой способ подходит и для рисунка, и для предметов вокруг нас.

Ломаная устроена как цепочка отрезков. Конец одного звена совпадает с концом следующего, поэтому звенья соединены последовательно, а не просто лежат рядом. Точку такого соединения называют вершиной; сами отрезки остаются звеньями. Чтобы их различить, следуй по линии и отмечай точки, где направление меняется.

Замкнутость определяют не по изгибам, а по соединению начала и конца. Если, пройдя всю линию, можно вернуться в начальную точку без разрыва, линия замкнута. Если путь заканчивается в другой точке, линия незамкнута. Поэтому и прямая, и кривая линия могут быть незамкнутыми, а кривая или ломаная может образовать замкнутый контур.

Линия может быть составной: в ней встречаются прямые участки и изгибы. По одному внешнему виду не всегда понятно, из каких частей она сделана, поэтому нужно описывать её устройство: где расположены прямые отрезки, где линия изгибается и как части соединены. Например, ломаную отличает не просто угловатая форма, а то, что она составлена именно из отрезков. Такое описание точнее помогает сравнивать линии и разбирать их свойства.

Виды линий и их признаки

Пользуйся таблицей по порядку: сначала проверь, есть ли изгиб или повороты, затем выясни, из каких частей состоит линия. После этого отдельно проверь, соединяются ли её начало и конец. Признаки изгиба и замкнутости отвечают на разные вопросы, поэтому их не следует смешивать.

Разбор задач

Задача 1. Определить прямые и кривые линии

Условие: даны несколько изображённых линий, нужно разделить их на прямые и кривые. Будем рассматривать каждую линию отдельно, потому что соседние изображения могут иметь разное устройство. Не будем судить по длине или положению линии на листе. Решение:

1. Проследи глазами путь каждой линии от одного края до другого. Так легче заметить, меняется ли направление.
2. Если линия нигде не изгибается и сохраняет одно направление, назови её прямой. Если направление меняется и виден изгиб, назови её кривой.
3. Повтори проверку для остальных линий и запиши их в две группы. Не считай края нарисованного штриха концами всей прямой.

Ответ: прямые линии не имеют изгибов, а кривые изгибаются. Чтобы выполнить задание по конкретным изображениям, нужно применить эту проверку к каждой линии отдельно. Если форма неясна, проследи её медленно от начала до конца.

Задача 2. Найти звенья и вершины ломаной

Условие: дана ломаная из нескольких последовательно соединённых отрезков; нужно назвать её звенья и вершины. Для разбора выберем любую крайнюю точку и будем двигаться по линии в одном направлении. Так мы не пропустим часть отрезков и не посчитаем один участок дважды. Решение:

1. Начни с крайнего конца и проследи ломаную до первого поворота. Отрезок от начала до этого поворота — первое звено.
2. Отметь точку поворота: это вершина, потому что здесь соединяются соседние отрезки. Продолжай движение и отмечай следующие отрезки и точки соединения.
3. Посчитай все отрезки как звенья, а точки соединения соседних звеньев — как вершины. Конечные точки всей незамкнутой ломаной не являются точками соединения звеньев.

Ответ: звенья — все отрезки ломаной, а вершины — точки, где соседние звенья соединяются. Их количество можно определить, проследив линию по порядку. Если ломаная замкнута, последнее звено соединяется с первым в общей вершине.

Задача 3. Определить, замкнуты ли линии

Условие: по рисунку нужно определить, какие линии замкнуты, а какие незамкнуты, и объяснить ответ. Внешняя форма может быть любой: линия может изгибаться или состоять из звеньев. Проверять нужно не сходство с кругом или многоугольником, а соединение концов. Решение:

1. Найди начало линии и мысленно пройди по ней до конца. Следи за тем, чтобы не перескакивать через разрывы.
2. Проверь, совпадает ли конечная точка с начальной или соединена ли она с ней. Если между ними есть разрыв, линия незамкнутая, даже если концы расположены близко.
3. Запиши результат для каждой линии и назови признак: концы соединены или остаются раздельными. Форма линии на этот ответ не влияет.

Ответ: замкнута та линия, у которой начало и конец соединяются; остальные линии незамкнуты. Близость концов сама по себе не означает соединения. При объяснении назови именно то, что увидел при проверке.

Типичные ошибки

Ошибка: считать нарисованный штрих всей прямой. Так можно подумать, потому что у изображения есть видимые края, но они ограничивают только рисунок на листе. Проверь себя: прямая продолжается за эти края в обе стороны, а ограниченный участок с двумя концами называется отрезком.

Ошибка: называть ломаной любую линию из нескольких участков. Участки могут быть не отрезками или не соединяться последовательно, поэтому одного внешнего сходства недостаточно. Проверь, что каждый участок — отрезок и соседние отрезки соединены концами. Если условие не выполнено, это не ломаная.

Ошибка: путать вершину и звено. Их легко смешать, потому что оба понятия относятся к местам и частям одной ломаной. Но звено — это отрезок, а вершина — точка соединения соседних звеньев. Для проверки спроси себя: можно ли указать длину этой части? Если да, это звено; вершина длины не имеет.

Ошибка: считать линию замкнутой, если её концы просто близко подходят друг к другу. На рисунке маленький промежуток можно не заметить, особенно если смотреть быстро. Увеличь изображение или внимательно проверь место соединения: начало и конец должны действительно соприкасаться. Если между ними остаётся разрыв, линия незамкнутая.

Связь с другими темами

До изучения линий полезно уметь распознавать точку, отрезок и прямую, а также изображать их на чертеже. Эти знания помогают отличать бесконечную прямую от её нарисованной части и понимать, из чего составлены другие линии. Если эти понятия пока путаются, вспомни: у отрезка есть два конца, у прямой концов нет.

Понятие ломаной понадобится при изучении многоугольников: их стороны образуют замкнутую ломаную. Оно пригодится и при вычислении длины ломаной. Для этого находят длину каждого звена и складывают полученные длины.

Что запомнить

• Прямая линия не изгибается и продолжается в обе стороны.
• Кривая линия имеет изгиб.
• Ломаная состоит из отрезков, называемых звеньями.
• Точки соединения звеньев ломаной — её вершины.
• Линия замкнута, если её начало и конец соединяются.
• Незамкнутая линия имеет раздельные начало и конец.