Линии

Определения и обозначения

Линия — след, который оставляет движущаяся точка. Например, таким следом может быть черта от карандаша на бумаге. Линии бывают разными по виду, поэтому это слово обозначает не только ровную черту. Понятие линии помогает описывать и сравнивать геометрические изображения.

Прямая линия — линия без изгибов. Она не поворачивает и не меняет направление. На рисунке виден только небольшой её участок, но мысленно такую линию можно продолжать в обе стороны. Это нужно учитывать, когда мы отличаем прямую от отрезка, у которого есть два конца.

Кривая линия — линия с изгибами, которая не состоит из отдельных прямых отрезков. Она может плавно менять направление, словно дорожка, обходящая препятствие. По этому признаку кривую отличают от ломаной. Такое различие помогает правильно назвать линию, даже если обе линии не прямые.

Ломаная линия — линия из нескольких прямых отрезков, соединённых концами. Каждый отрезок остаётся прямым, но в месте соединения линия может изменить направление. Ломаные встречаются в геометрических фигурах и чертежах. Чтобы описать их строение, считают отрезки и находят места их соединения.

Как это устроено

Линию удобно представить как след от движения карандаша по бумаге. Пока карандаш движется, его кончик оставляет непрерывную черту, поэтому линия показывает путь движения точки. Если вести карандаш прямо, получается прямой след; если поворачивать или изгибать движение, след меняет вид. Именно поэтому линии различают по тому, как они выглядят и как были бы проведены.

Прямую линию проводят по линейке: её ровный край помогает карандашу двигаться, не отклоняясь в сторону. На листе обычно помещается только часть прямой, потому что лист ограничен. Однако сама прямая не заканчивается на краях нарисованного участка: её можно продолжить в обе стороны. Поэтому при рассматривании чертежа важно мысленно продлить линию, а не принимать границу листа за её конец.

Кривая линия меняет направление плавно, без резких поворотов. Если вести карандаш по такой линии, он постепенно поворачивает, а не перескакивает с одного прямого участка на другой. Поэтому на кривой нет углов, которые заметны у ломаной в местах стыка отрезков. Этот признак позволяет различить линии, даже если обе они изгибаются.

У ломаной соседние отрезки соединяются концами, поэтому получается одна линия из нескольких прямых частей. Место такого соединения называют вершиной ломаной: там заканчивается один отрезок и начинается следующий. Чтобы найти вершины, нужно проследить линию и отметить точки, где она меняет направление. Свободный конец, у которого не начинается другой отрезок, вершиной соединения не является.

Линия бывает замкнутой, если её начало и конец соединены, и незамкнутой, если между концами остаётся промежуток. Для проверки нужно проследить весь путь от одного конца до другого и посмотреть, встречаются ли они. Если концы лишь расположены близко, но не соприкасаются, линия остаётся незамкнутой. Замкнутость можно определить у разных видов линий, в том числе у кривой и ломаной.

Виды линий и их признаки

Сопоставляй вид линии с её признаками: сначала проверь изгибы и состав, затем — соединены ли концы. В таблице указано, как определить каждый вариант. Примеры замкнутой и незамкнутой линий описаны по их концам.

Разбор задач

Выбери прямую линию

Условие. Рассмотри несколько изображений и выбери прямую линию. Чтобы не спутать прямую с другими линиями, проверяй не цвет и длину черты, а наличие изгибов. Сравнение признаков поможет сделать выбор.

1. Посмотри на каждую линию целиком и проследи её направление.
2. Исключи линии, которые плавно изгибаются: это кривые.
3. Исключи линии, составленные из прямых частей, соединённых с поворотами: это ломаные.
4. Выбери линию, которая не изгибается и не меняет направления.

Ответ. Прямая линия — та, у которой нет изгибов. Если на рисунке показан только короткий участок, это не мешает назвать его частью прямой. При сомнении мысленно продолжи черту в обе стороны и проверь, остаётся ли направление ровным.

Нарисуй незамкнутую ломаную из трёх отрезков

Условие. Нарисуй ломаную из трёх отрезков так, чтобы она оставалась незамкнутой, и отметь места их соединения. Важно, чтобы части образовали одну линию, а не лежали отдельно. При этом первый и последний свободные концы не должны встретиться.

1. Проведи первый прямой отрезок.
2. От одного его конца проведи второй отрезок так, чтобы концы соприкоснулись.
3. От свободного конца второго отрезка проведи третий, соединив их концами.
4. Отметь две точки соединения соседних отрезков и проверь, что крайние концы раздельны.

Ответ. Получилась незамкнутая ломаная из трёх отрезков. Две отмеченные точки — места соединения, то есть вершины этой ломаной. Если крайние концы соприкоснулись, линия стала замкнутой, и построение нужно исправить.

Найди замкнутую ломаную и сосчитай отрезки

Условие. Среди изображённых линий найди замкнутую ломаную и сосчитай, сколько отрезков её образуют. Здесь нужно выполнить две проверки: определить замкнутость, а затем убедиться, что выбранная линия именно ломаная. Так можно не принять за ответ замкнутую кривую.

1. Проследи каждую линию от начала до конца и найди ту, у которой концы соединены.
2. Проверь, что выбранная линия состоит из прямых отрезков, а не изгибается плавно.
3. Начни с любого отрезка и последовательно считай каждый новый отрезок один раз.
4. Когда вернёшься к началу обхода, остановись: повторно первый отрезок не считай.

Ответ. Выбранная линия должна быть замкнутой и состоять из отдельных прямых отрезков. Число отрезков определяется подсчётом всех её частей без повторов. Если концы не соединены или линия плавно изгибается, это не замкнутая ломаная.

Типичные ошибки

Ошибочно называть прямой любую линию, даже если она изгибается. Так думают, когда ориентируются только на то, что линия нарисована одним движением. Проверь, меняет ли она направление: у прямой изгибов нет, а кривая и ломаная изгибаются. Это простой способ не смешивать названия.

Плавно изогнутую линию иногда считают ломаной, потому что обе линии не выглядят прямыми. Но ломаная обязательно состоит из отдельных прямых отрезков, соединённых концами. Чтобы проверить себя, найди на линии прямые части и места их соединения. Если изгиб непрерывный и части не выделяются как отрезки, это кривая.

Вершину ломаной путают с её концом, потому что оба места могут выглядеть как точки на чертеже. Вершина — место соединения соседних отрезков, а свободный конец завершает линию. Проследи, сходятся ли в этой точке два отрезка: если да, это вершина. Если от точки линия только начинается или заканчивается, это конец.

Линию считают замкнутой, когда её концы расположены близко друг к другу. Однако близость не означает соединение: между концами может оставаться маленький разрыв. Проведи взглядом линию от начала до конца и проверь, можно ли пройти по ней без перескока через пустое место. Только соединённые концы делают линию замкнутой.

Связь с другими темами

Для работы с линиями полезно уметь держать карандаш и пользоваться линейкой: она помогает проводить ровные участки. Также нужно замечать, где след прямой, а где он изгибается. Эти навыки нужны не только на уроках математики, но и при выполнении простых чертежей. Чем аккуратнее проведена линия, тем легче рассмотреть её признаки.

Линии помогают изображать геометрические фигуры и выполнять чертежи. Например, из отрезков можно составить ломаную, а замкнутая линия может образовать контур фигуры. Поэтому распознавание прямых, кривых и ломаных пригодится при дальнейшем изучении геометрии. Умение находить вершины и проверять замкнутость помогает описывать устройство таких изображений.

Что запомнить

• Линии различаются по виду.
• Прямая линия не имеет изгибов.
• Кривая линия имеет изгибы.
• Ломаная состоит из прямых отрезков.
• Места соединения отрезков ломаной называют вершинами.
• Замкнутая линия имеет соединённые концы.