1.1. Разнообразный мир линий

Определения и обозначения

Линия — общее название прямых, кривых и изображений, составленных из отрезков. Она может быть частью рисунка или границей фигуры, например очертанием предмета на бумаге. Это понятие помогает описывать самые разные следы и контуры, не называя каждый из них отдельно. Чтобы понять, какая перед нами линия, рассматривают её форму и устройство.

Прямая линия — линия, которая не изгибается. На рисунке обычно показывают лишь её часть, но мысленно её можно продолжить в обе стороны. Такое представление нужно, чтобы отличать прямую от короткого отрезка: у отрезка есть два конца, а прямая продолжается дальше. Если направление не меняется, линия прямая.

Кривая линия — линия, которая плавно меняет направление и не образует отдельных углов. Так можно описать, например, дугу или округлое очертание. Это определение помогает не спутать плавный изгиб с поворотом из нескольких прямых частей. При распознавании кривой проследи, как она поворачивает.

Ломаная линия — линия из последовательно соединённых отрезков. Точки, в которых соседние отрезки соединяются, называют вершинами ломаной. Отрезки образуют её звенья, а их соединение позволяет изобразить путь с поворотами. Это понятие пригодится при описании маршрутов и контуров с углами.

Как это устроено

Линии окружают нас повсюду: их можно увидеть в рисунках, очертаниях вещей и схемах. Это происходит потому, что линия помогает показать край предмета, направление движения или путь между местами. Например, на схеме маршрута линией обозначают дорогу, а в рисунке линией передают контур. По виду линии можно понять, ровный это участок или извилистый.

Чтобы отличить прямую от кривой, проследи за направлением линии. У прямой оно не меняется: линия идёт ровно и не поворачивает. Кривая изгибается, поэтому её направление постепенно становится другим. Сравнивай не длину линии, а именно то, как она меняет направление.

Ломаная получается, когда отрезки соединяют один за другим: конец одного отрезка совпадает с началом следующего. В каждом месте соединения встречаются два отрезка, поэтому там возникает вершина. Если отрезки направлены по-разному, линия поворачивает; так появляется ломаный путь. Чтобы найти вершины, двигайся по линии и отмечай все места соединения соседних отрезков.

Линия бывает открытой или замкнутой — это зависит от того, соединены ли её концы. У открытой линии можно найти начало и конец, которые не встречаются. У замкнутой конец возвращается к началу, и линия образует непрерывный контур. Поэтому небольшое расстояние между концами ещё не делает линию замкнутой: они должны действительно соединяться.

Иногда линия пересекает саму себя, то есть её части встречаются не только в соседних местах. В такой точке одна часть линии проходит через другую, и на рисунке это пересечение можно отметить. Его легко пропустить, если проверить только начало и конец линии. Поэтому сначала проследи весь путь, а затем найди места, где он пересекает собственный ход.

Виды линий и их особенности

Сначала определи форму линии: она прямая, кривая или составлена из отрезков. Затем проверь, соединяются ли её концы, и отдельно посмотри, пересекает ли линия саму себя. Эти признаки описывают разные особенности, поэтому их можно проверять по очереди.

Разбор задач

Задача 1. Рассмотрите рисунки дороги, края линейки и дуги радуги. Определите, где изображена прямая линия, а где кривая. Нужно сравнить, меняет ли каждая линия направление, а не ориентироваться на то, что она обозначает. Проверь каждое изображение отдельно.

1. Край линейки идёт ровно, поэтому его направление не меняется.
2. Дуга радуги плавно изгибается, значит, это кривая.
3. Дорога может быть прямой или извилистой: если на рисунке она поворачивает плавно, изображена кривая.

Ответ: край линейки — прямая линия, дуга радуги — кривая; дорога является прямой или кривой в зависимости от её изображения. Главный признак — изменение направления. Не делай вывод только по названию предмета.

Задача 2. Начертите ломаную из трёх отрезков и отметьте её вершины. Отрезки нужно расположить цепочкой так, чтобы конец каждого, кроме последнего, соединялся с началом следующего. Для наглядности изобразим их с поворотами. Тогда точки соединения легко отличить от свободных концов.

1. Начерти первый отрезок.
2. Из его конца проведи второй отрезок, а из конца второго — третий.
3. Отметь две точки, где соседние отрезки соединяются: это вершины ломаной.

Ответ: у ломаной из трёх последовательно соединённых отрезков две вершины и два свободных конца. Вершина появляется на каждом соединении двух звеньев. Свободные концы находятся в начале и конце всей ломаной.

Задача 3. На рисунке несколько линий: у одних концы соединены, у других — нет; одна линия пересекает саму себя. Определите открытые и замкнутые линии и укажите точку пересечения. Не считай близко расположенные концы соединёнными. Проверяй каждый признак отдельно.

1. Проследи каждую линию до конца и проверь, встречается ли конец с началом.
2. Если они соединены, назови линию замкнутой; если между ними есть разрыв — открытой.
3. У линии, пересекающей саму себя, найди место, где её части встречаются, и отметь эту точку.

Ответ: замкнуты линии, у которых начало и конец действительно соединяются; остальные открыты. Точка, в которой линия пересекает собственный ход, является точкой пересечения. Без самого рисунка нельзя назвать конкретные линии или указать положение точки, поэтому применяй эти признаки к каждому изображению.

Типичные ошибки

Ошибка: считать любую линию из нескольких отрезков прямой. Если отрезки меняют направление, перед нами ломаная, потому что в местах их соединения линия поворачивает. Путают эти понятия, когда замечают только, что линия нарисована ровными отрезками. Проверь себя: проследи путь и посмотри, сохраняется ли одно направление.

Ошибка: называть вершинами концы ломаной. Вершины находятся там, где соединяются соседние отрезки, а начало и конец всей ломаной — её свободные крайние точки. Путаница возникает из-за того, что все эти точки видны на линии. Проверь себя: у вершины сходятся два звена, а у свободного конца — только одно.

Ошибка: считать линию замкнутой, если её концы просто близко расположены. Для замкнутости требуется настоящее соединение конца с началом, иначе остаётся разрыв. Маленький промежуток легко не заметить на рисунке. Увеличь или внимательно рассмотри это место: если концы не соприкасаются, линия открытая.

Ошибка: не замечать пересечение линии самой с собой. Если смотреть только на начало и конец, можно пропустить встречу разных частей линии. Такое случается, когда внимание сосредоточено на том, открыта линия или замкнута. Проследи весь её путь и проверь, не пересекает ли он уже пройденный участок.

Связь с другими темами

Чтобы разбираться в линиях, нужно уметь проводить отрезки и находить их концы. Это помогает строить ломаные и отмечать места соединения звеньев. Позже виды линий пригодятся при изучении геометрических фигур, потому что линия может быть границей фигуры. Умение узнавать ломаные также помогает читать чертежи, маршруты и схемы, где повороты показывают отрезками.

Что запомнить

• Линии бывают прямыми, кривыми и ломаными.
• Прямая линия не изгибается.
• Ломаная состоит из последовательно соединённых отрезков.
• Точки соединения отрезков ломаной — её вершины.
• У открытой линии концы не соединены.
• У замкнутой линии конец соединяется с началом.
• Линия может пересекать саму себя.