1.2. Прямая. Части прямой. Ломаная

Определения и обозначения

Прямая — линия, у которой нет ни начала, ни конца: она продолжается в обе стороны. Её обозначают двумя точками, например AB, или одной строчной латинской буквой, например a. Две точки помогают указать, какая именно прямая имеется в виду, а буква — коротко назвать её в записи.

Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками. Эти точки называют концами отрезка, а обозначают его по концам: например, отрезок AB. Концы показывают, где отрезок начинается и заканчивается, поэтому его можно измерить и сравнивать с другими отрезками.

Луч — часть прямой, у которой есть начало, но нет конца в одном направлении. Его обозначают двумя точками: первой называют начало, второй — точку, показывающую направление; например, луч AB начинается в A. Такой порядок нужен, чтобы отличить луч AB от луча BA: у них разные начала.

Ломаная состоит из отрезков, соединённых последовательно. Отрезки называют звеньями, а точки, в которых они соединяются, — вершинами. Эти названия помогают описать части ломаной и найти её длину, сложив длины звеньев.

Как это устроено

Через любые две различные точки можно провести только одну прямую: если бы через них проходили две разные прямые, они обе должны были бы проходить через одни и те же точки и совпали бы. Поэтому пара точек однозначно задаёт прямую. Её обозначают по этим точкам, например AB; если поменять порядок и написать BA, речь всё равно идёт о той же прямой, потому что у прямой нет выделенного начала.

Чтобы получить отрезок на прямой, отметь на ней две точки и выбери часть между ними. Эти точки станут концами отрезка, а всё, что находится за ними, в отрезок не входит. Так как расстояние между двумя точками конечно, длина отрезка тоже конечна; её можно узнать измерением линейкой. Именно наличие двух границ отличает отрезок от всей прямой.

Чтобы получить луч, выбери на прямой точку начала и одно из двух направлений. В одном направлении луч продолжается бесконечно, а в противоположном ограничен начальной точкой. Поэтому луч нельзя считать отрезком: у него только одно начало, а второго конца нет. В обозначении начало ставят первым, иначе можно указать другой луч.

Ломаную составляют из нескольких отрезков так, чтобы конец одного звена совпадал с началом следующего. Общие точки звеньев становятся вершинами ломаной; свободные крайние точки образуют её начало и конец. Если эти крайние точки совпадают, ломаная замыкается, а если нет — остаётся незамкнутой. Значит, вид ломаной зависит не от длины звеньев, а от того, как они соединены.

Чтобы найти длину ломаной, измерь каждое звено отдельно и сложи результаты. Это нужно потому, что путь по ломаной проходит вдоль всех её звеньев, а не напрямую от начальной вершины к конечной. Например, при длинах 4 см, 6 см и 3 см длина всего пути равна 4 + 6 + 3 = 13 см. Если ломаная замкнута, звенья всё равно складывают по тому же правилу.

Сравнение прямой, отрезка, луча и ломаной

Сначала посмотри, есть ли у фигуры начало и концы, а затем определи, в какую сторону она продолжается. Для ломаной важно не только её начертание, но и то, соединены ли крайние вершины. В последнем столбце указано, как записать фигуру или найти её длину.

Разбор задач

Задача 1. Отметь точки A и B и проведи через них прямую. Запиши два способа её обозначения. Нужно вспомнить, что две различные точки задают ровно одну прямую, а порядок их названий для прямой роли не играет.

1. Поставь на листе две разные точки и подпиши их A и B.
2. Приложи линейку так, чтобы её край проходил через обе точки, и проведи линию дальше точек в обе стороны.
3. Обозначь полученную прямую точками: AB. Второй способ — BA; можно также назвать её строчной буквой, например a.

Ответ: прямая AB, или BA (например, прямая a). Обозначения AB и BA относятся к одной и той же прямой.

Задача 2. На прямой отмечены точки A, B и C, причём B лежит между A и C. Назови отрезки и лучи с началом в B, изображённые на прямой. Сначала определим, какие части имеют два конца, а какие начинаются в B и идут в одну сторону.

1. Так как B находится между A и C, отрезки с концами в соседних отмеченных точках — AB и BC; вся часть от A до C также образует отрезок AC.
2. Для луча с началом B первой пишем букву B. В сторону A это луч BA, а в сторону C — луч BC.
3. Проверь обозначения: у обоих лучей первая буква B, потому что именно в этой точке они начинаются.

Ответ: отрезки AB, BC и AC; лучи BA и BC. Если в задаче рассматриваются только части между соседними точками, называют отрезки AB и BC, а отрезок AC — целиком от A до C.

Задача 3. Ломаная состоит из трёх звеньев длиной 4 см, 6 см и 3 см. Найди её длину и определи, будет ли она замкнутой, если её начало и конец совпадают. Длину нужно найти по всем звеньям, а замкнутость проверить отдельно.

1. Сложи длины звеньев: 4 + 6 + 3 = 13.
2. Запиши единицу измерения: длина ломаной равна 13 см.
3. Сравни начальную и конечную вершины. По условию они совпадают, значит, ломаная замкнута.

Ответ: 13 см; ломаная замкнутая. Совпадение начала и конца не меняет правила сложения длин звеньев.

Типичные ошибки

Ошибка — считать, что у прямой есть концы. На рисунке линию приходится изображать ограниченным штрихом, поэтому можно спутать её с отрезком; продолжение прямой показывают стрелками или понимают мысленно. Проверь себя: у прямой нет выбранных крайних точек, и она продолжается в обе стороны.

Ошибка — обозначать отрезок одной точкой или считать его неограниченным. Так происходит, если забыть, что именно две точки ограничивают отрезок; одна точка не указывает оба его конца. Проверь запись: у отрезка должны быть названы два конца, например AB, а его длину можно измерить.

Ошибка — поменять местами точки в обозначении луча, не заметив изменения начала. Такое случается, когда луч принимают за прямую, у которой порядок точек не важен. Сначала найди начальную точку, поставь её первой и только потом укажи направление: луч AB начинается в A.

Ошибка — находить длину ломаной как расстояние от начала до конца. Прямой отрезок между этими точками может быть короче пути по звеньям, поэтому такое измерение не даёт длину ломаной. Проверь себя: перечисли все звенья и сложи их длины, не пропуская ни одного.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны умения отмечать точки, проводить линии и измерять отрезки линейкой. Если уверенно пользоваться линейкой, легче находить длину звена и проверять, правильно ли выполнено построение. Понятия отрезка и ломаной пригодятся при изучении многоугольников: их стороны образуют замкнутую ломаную. Позже это поможет понимать периметр — сумму длин сторон фигуры.

Что запомнить

• Через две различные точки проходит единственная прямая.
• Прямая не имеет ни начала, ни конца.
• У отрезка два конца.
• У луча есть начало и одно направление продолжения.
• Ломаная состоит из звеньев, соединённых последовательно.
• Длина ломаной равна сумме длин её звеньев.
• Ломаная замкнута, если её начало и конец совпадают.