7. Окружность

Определения и обозначения

Окружность — это линия, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от одной точки. Эта точка называется центром окружности. Такое определение помогает отличить окружность от круга и понять, почему её форма сохраняется при построении.

Радиус — отрезок, соединяющий центр окружности с любой её точкой. Радиус обозначают буквой r. Он задаёт размер окружности: все такие отрезки в одной окружности имеют одинаковую длину.

Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности. Её концы лежат на линии окружности, а сам отрезок обычно проходит внутри неё. Хорды нужны, чтобы сравнивать расстояния между точками окружности.

Диаметр — хорда, проходящая через центр окружности, его обозначают буквой d. У диаметра концы находятся на противоположных сторонах окружности. Поэтому он связан с радиусом особенно просто и является самой длинной хордой.

Как это устроено

Окружность задаётся центром и радиусом, потому что положение центра определяет, откуда измерять расстояние, а радиус — насколько далеко проводить линию. Для каждой точки окружности расстояние до центра одинаково. Если изменить центр или радиус, получится уже другая окружность.

Чтобы построить окружность циркулем, сначала выбирают точку, которая будет центром. Затем раздвигают ножки циркуля на расстояние, равное заданному радиусу, и ставят иглу в центр. Поворачивая циркуль, проводят линию карандашом: карандаш всё время находится на одном расстоянии от иглы.

Диаметр состоит из двух радиусов, потому что центр лежит между его концами. Каждый из двух отрезков от центра до конца диаметра имеет длину r, поэтому общая длина равна r + r = 2r. Отсюда получаем формулы d = 2r и r = d/2.

Диаметр является самой длинной хордой, поскольку проходит через центр. Его концы оказываются наиболее удалёнными друг от друга точками окружности. Если хорда смещена от центра, расстояние между её концами становится меньше диаметра.

Если известен радиус, диаметр находят умножением на 2, а если известен диаметр, радиус находят делением на 2. После вычисления полезно выполнить обратную проверку: умножить найденный радиус на 2 или сравнить диаметр с двумя радиусами. Единицы длины при этом должны оставаться одинаковыми.

Элементы окружности и их свойства

Сначала найдите в условии нужный элемент, а затем сверьте его определение с таблицей. Если хорда проходит через центр, её нужно считать диаметром и использовать связь d = 2r.

Таблица также помогает не смешивать обозначения: r относится к радиусу, а d — к диаметру. Для произвольной хорды формула d = 2r неприменима.

Разбор задач

Задача 1

Радиус окружности равен 4 см. Требуется найти диаметр. Здесь дан именно радиус, поэтому выбираем формулу, в которой диаметр выражен через него.

1. Записываем формулу: d = 2r.
2. Подставляем значение радиуса: d = 2 · 4 = 8 см.
3. Проверяем: половина диаметра 8 : 2 = 4 см, это исходный радиус.

Ответ: диаметр равен 8 см. Он получился вдвое больше радиуса, как и должно быть.

Задача 2

Диаметр окружности равен 15 см. Нужно найти радиус. Поскольку диаметр состоит из двух равных радиусов, делим его длину пополам.

1. Записываем формулу: r = d/2.
2. Подставляем данные: r = 15/2 = 7,5 см.
3. Проверяем умножением: 7,5 · 2 = 15 см.

Ответ: радиус равен 7,5 см. В записи результата сохранена единица длины из условия.

Задача 3

Точки A и B лежат на окружности с центром O, отрезок AB проходит через O, а OA = 3,5 см. Нужно найти AB и объяснить отличие этого отрезка от обычной хорды.

1. Так как AB проходит через центр и соединяет две точки окружности, это диаметр.
2. Отрезок OA является радиусом, поэтому AB = 2OA = 2 · 3,5 = 7 см.
3. Сравниваем с определением: любая хорда соединяет две точки окружности, а диаметр дополнительно проходит через центр.

Ответ: AB = 7 см. Этот отрезок является диаметром, то есть особой, самой длинной хордой окружности.

Типичные ошибки

Окружностью иногда называют круг вместе с внутренней областью. Ошибка появляется потому, что в обычной речи эти слова часто смешивают. Проверьте себя: если речь идёт только о границе, это окружность, а внутренняя область относится к кругу.

Некоторые считают радиусом любой отрезок внутри окружности. Но радиус обязательно начинается в центре и заканчивается в точке окружности. Проведите мысленно оба конца отрезка: если один не совпадает с центром или другой не лежит на окружности, это не радиус.

Всякую хорду иногда называют диаметром. Диаметр — лишь хорда, проходящая через центр, поэтому положение центра нужно проверять отдельно. Если отрезок не пересекает центр, он остаётся обычной хордой.

Радиус и диаметр путают или записывают d = r/2. Диаметр, наоборот, в два раза больше радиуса: d = 2r, а радиус равен половине диаметра. Проверка проста: два найденных радиуса должны составлять один диаметр.

Связь с другими темами

Для изучения окружности нужны знания о точке и отрезке, умение находить середину отрезка и измерять его длину. Центр и концы диаметра помогают применять эти понятия на чертеже.

Окружность, радиус и диаметр понадобятся при изучении круга, длины окружности и площади круга. Понимание различия между границей и внутренней областью будет особенно важным в формулах.

Построение окружностей циркулем пригодится в геометрических построениях и задачах на равные расстояния. Один и тот же раствор циркуля позволяет отмечать точки, удалённые от центра на заданный радиус.

Что запомнить

• Все точки окружности равноудалены от её центра.
• Расстояние от центра до окружности — радиус.
• Хорда соединяет две точки окружности.
• Диаметр — хорда, проходящая через центр.
• Диаметр равен двум радиусам: d = 2r.
• Радиус равен половине диаметра: r = d/2.
• Диаметр — самая длинная хорда окружности.