2.1. Как записывают и читают натуральные числа

Определения и обозначения

Натуральные числа — числа, которыми считают предметы: 1, 2, 3 и так далее. В принятом здесь понимании ноль не входит в натуральный ряд: он показывает, что предметов нет. Это понятие помогает отличать числа для счёта от других чисел.

Цифра — знак, которым записывают число. В десятичной системе используют десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. Из них можно составить запись любого натурального числа, поэтому важно не путать цифру с числом.

Разряд — место цифры в записи числа, которое определяет её значение. Разряды справа налево называются единицами, десятками, сотнями, тысячами, десятками тысяч, сотнями тысяч и далее. Разрядный состав показывает, сколько в числе единиц каждого вида.

Класс — объединение трёх соседних разрядов. Справа налево идут класс единиц, класс тысяч, класс миллионов, класс миллиардов и следующие классы. Деление на классы помогает читать длинные записи и не терять значение цифр.

Как это устроено

Число составляют из цифр, но смысл записи задаёт не только сама цифра. Например, цифра 5 может обозначать пять единиц, пять десятков или пять тысяч — это зависит от её места. Поэтому одну и ту же запись нельзя читать как простое перечисление цифр: нужно учитывать разряды.

Длинную запись мысленно делят справа налево на группы по три цифры, а между группами ставят пробелы. Такой способ удобен, потому что в каждой группе помещаются единицы, десятки и сотни, а сама группа соответствует одному классу. Например, запись 5308 оформляют как 5 308: так сразу видны класс тысяч и класс единиц.

Читают число слева направо, начиная с самой старшей группы. Сначала называют группу как число, затем добавляют название её класса: например, «пять тысяч». Последнюю группу читают без названия «класс единиц», а группу, состоящую из трёх нулей, не произносят: в ней нет единиц этого класса.

Словесное название числа сообщает, сколько единиц каждого разряда и класса в нём есть. Если называют тысячи и единицы, но не называют сотни или десятки, это означает, что таких единиц нет. В записи их места занимают нули, иначе цифры сдвинутся и обозначат другое количество.

Чтобы записать число по названию, сначала определяют его классы и записывают слева направо. Внутри каждой названной группы цифры ставят на места сотен, десятков и единиц; незаполненные места занимают нулями. Затем проверяют, что между группами не потерялись нулевые классы: запись должна сохранять место каждой названной группы.

Разряды и классы натуральных чисел

Чтобы определить класс цифры, считай разряды справа налево или раздели запись на группы по три цифры. Внутри каждой группы разряды идут от единиц к сотням, а группы называют по их положению. Нули тоже занимают свои места, даже если при чтении целую группу не называют.

Разбор задач

Задача 1. Прочитайте число 5 308. Группы уже отделены пробелом: слева стоит класс тысяч, справа — класс единиц. В группе единиц есть сотни и единицы, но нет десятков, поэтому в записи стоит ноль.

1. Найдём левую группу: в ней цифра 5, значит, это пять тысяч.
2. Прочитаем правую группу 308 как триста восемь; ноль десятков отдельно не произносим.
3. Соединим части: «пять тысяч триста восемь».

Ответ: пять тысяч триста восемь.

Задача 2. Запишите цифрами число: семь миллионов сорок две тысячи девять. В названии есть класс миллионов, класс тысяч и класс единиц. Начинаем с самого старшего класса и оставляем по три цифры для каждого следующего класса, даже если часть разрядов не названа.

1. Семь миллионов записываем как 7, затем оставляем место для класса тысяч.
2. Сорок две тысячи — это группа 042: в ней нет сотен тысяч, поэтому ставим ноль перед 42.
3. Девять записываем в классе единиц как 009, потому что сотен и десятков нет.
4. Собираем группы слева направо и отделяем их пробелами.

Ответ: 7 042 009.

Задача 3. Сравните числа 406 090 и 460 009. В обоих числах по шесть цифр, поэтому одно нельзя признать большим только по длине записи. Сравним цифры одинаковых разрядов слева направо и остановимся на первом месте, где они различаются.

1. В разряде сотен тысяч стоят одинаковые цифры 4.
2. В разряде десятков тысяч стоят 0 и 6. Так как 0 меньше 6, первое число меньше второго.
3. Разряды правее уже не меняют результат сравнения.

Ответ: 406 090 < 460 009.

Типичные ошибки

Читают цифры подряд, например «пять, три, ноль, восемь» вместо названия числа. Так происходит, когда запись принимают за список знаков и не учитывают разряды. Проверь себя: разбей запись на классы и назови количество, которое обозначает каждая группа.

Не ставят пробелы между классами или делят цифры на группы слева направо. Группировать нужно справа налево, потому что первый класс единиц начинается с последней цифры записи. Для проверки отсчитай по три цифры от конца; слева может остаться одна, две или три цифры.

При записи по названию забывают нули в незаполненных разрядах. Тогда соседняя цифра занимает чужое место, и получается другое число. Проверь каждую тройку: в ней должны быть записаны все разряды, даже если некоторые обозначаются нулями.

Произносят название класса, в котором все три цифры равны нулю. Такую группу называют нулевым классом и при чтении пропускают, потому что она не добавляет к числу ни одной единицы этого класса. Проверь себя: если группа записана как 000, не произноси её название.

Связь с другими темами

До изучения темы нужно знать цифры и уметь считать предметы, связывая количество с числом. Это помогает понять, что запись обозначает количество, а не просто набор знаков. Разряды и классы уточняют, как именно представлено это количество.

Правильное чтение и запись нужны при сравнении натуральных чисел: сначала смотрят на длину записи, затем — на цифры одинаковых разрядов слева направо. Эти же умения пригодятся при округлении, когда важно определить нужный разряд. Ошибка в записи может изменить само число.

Разрядный состав понадобится при сложении, вычитании, умножении и делении многозначных чисел. Понимание единиц, десятков и сотен помогает правильно выполнять действия по разрядам. Нули при этом сохраняют позиции, в которых нет разрядных единиц.

Что запомнить

• В десятичной записи используют десять цифр: от 0 до 9.
• Значение цифры зависит от её места в записи числа.
• Три соседних разряда образуют класс.
• Классы в записи отделяют пробелами, считая справа налево.
• Число читают слева направо, называя ненулевые группы и их классы.
• Нули сохраняют места отсутствующих разрядных единиц, но нулевые классы при чтении пропускают.