"Математика (в 3-х частях)", Демидова Т.Е., Козлова С.А., Тонких А.П.
Решение текстовой задачи — это путь от её условия к ответу: нужно понять, какие величины известны, что требуется найти и как эти величины связаны. Условие можно представить краткой записью, таблицей, схемой, выражением или уравнением. Затем составляют план, выполняют необходимые действия и проверяют результат. Такой порядок помогает не угадывать действия по отдельным словам, а обосновывать каждый шаг смыслом задачи.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Условие задачи — сведения об известных величинах и их связях, заданные в тексте. Например, в задаче о карандашах известны их первоначальное количество и число раздaнных карандашей. Понимание условия помогает отделить данные задачи от лишних слов. Без этого легко применить действие не к тем величинам.
Требование задачи — вопрос, на который нужно ответить. В задаче о карандашах требуется узнать, сколько их осталось после раздачи. Вопрос подсказывает, какую величину искать, и помогает не остановиться на промежуточном результате. Поэтому его нужно определить до вычислений.
Математическая модель — запись условия с помощью чисел, величин, схемы, выражения или уравнения. Например, уменьшение количества на 9 можно представить выражением 24 − 9. Модель переводит рассказ на математический язык и показывает, какие данные связаны. По ней легче выбрать способ решения и проверить ход рассуждения.
План решения — последовательность действий, приводящих от известных данных к ответу. В составной задаче план может включать сначала поиск одной неизвестной величины, а затем другой. Он нужен, чтобы не пропустить необходимый шаг и не выполнять действия наугад. По плану также удобно проверять, зачем понадобилось каждое вычисление.
Чтобы выделить известные и неизвестные величины, прочитай условие целиком и выясни, о чём в нём говорится. Затем назови данные с единицами измерения и определи, о какой величине задают вопрос. После этого установи связи: что сравнивают, что изменяют, какие части составляют целое. Такой разбор нужен потому, что одинаковые числа в разных условиях могут участвовать в разных действиях.
Перед вычислениями важно определить требование: иначе можно правильно посчитать, но ответить не на тот вопрос. Например, задача может сообщать промежуточное количество, а спрашивать сумму нескольких величин. Выбрав искомую величину, соотнеси её с данными и реши, какая математическая модель покажет эту связь. Так вычисления становятся продолжением рассуждения, а не догадкой.
Краткая запись, таблица или схема помогают расположить данные так, чтобы их отношения было легче увидеть. В таблице можно сопоставить величины по объектам, а на схеме — показать части и целое или порядок изменений. Это особенно полезно, когда в условии несколько чисел и промежуточных результатов. Наглядная запись уменьшает риск перепутать, к какой величине относится каждое число.
Арифметическое действие выбирают по смыслу связи между величинами. Если количество уменьшили и спрашивают, сколько осталось, разность показывает остаток; если сравнивают на несколько единиц, ищут разность, а не частное. Уравнение подходит, когда связь удобно записать равенством с неизвестным числом. Объяснение выбора позволяет проверить, действительно ли вычисление отвечает условию.
Полученный результат нужно сопоставить с условием, потому что при вычислениях можно ошибиться или найти не ту величину. Проверь, выполняется ли исходная связь при найденном числе, верны ли вычисления и подходят ли единицы измерения. Например, в ответе на вопрос о массе должны быть указаны килограммы, а не просто число. Полный ответ предложением показывает, что найдено именно то, о чём спрашивали.
| Этап | Вопрос к условию | Действие | Результат |
|---|---|---|---|
| Чтение и анализ условия | Что известно и что требуется найти? | Выделить данные, неизвестные величины и связи между ними | Понято содержание задачи |
| Построение модели | Как представить условие математически? | Составить краткую запись, схему, выражение или уравнение | Математическая модель |
| Составление плана | Что нужно найти сначала? | Определить порядок действий | План решения |
| Выполнение решения | Какие вычисления следуют из плана? | Выполнить действия или решить уравнение | Найдено искомое значение |
| Проверка и ответ | Соответствует ли результат условию? | Проверить вычисления, единицы измерения и сформулировать ответ | Обоснованный ответ |
Пользуйся таблицей как порядком работы: переходи к следующему этапу, когда разобрался с предыдущим. Если на каком-то шаге непонятно, что делать, вернись к условию и уточни связь между величинами. В конце проверь не только вычисления, но и то, отвечает ли результат на вопрос задачи.
Задача: «В коробке было 24 карандаша, 9 карандашей раздали. Сколько карандашей осталось?» Известно начальное количество — 24 карандаша и количество раздaнных — 9 карандашей. Требуется найти остаток, то есть количество после уменьшения. Краткая запись: было — 24 карандаша, раздали — 9 карандашей, осталось — ?
Ответ: в коробке осталось 15 карандашей. Вычитание выбрано не просто потому, что в тексте сказано «раздали», а потому, что нужно найти остаток после уменьшения количества.
Задача: «В первом классе 28 учеников, во втором на 6 учеников больше, а в третьем на 4 ученика меньше, чем во втором. Сколько учеников в трёх классах вместе?» Известно количество учеников в первом классе, но количества во втором и третьем классах неизвестны. Сначала нужно найти второй класс, затем третий, и только потом общую сумму. Это последовательность необходима, потому что количество в третьем классе сравнивают именно со вторым.
Ответ: в трёх классах вместе 92 ученика. Важно не пытаться сразу сложить числа 28, 6 и 4: числа 6 и 4 описывают изменения относительно количества учеников, а не самостоятельные количества классов.
Задача: «После того как из ящика взяли 17 кг яблок, в нём осталось 35 кг. Сколько килограммов яблок было в ящике сначала?» Начальное количество неизвестно, поэтому обозначим его буквой x. После того как взяли 17 кг, осталось 35 кг; значит, начальное количество за вычетом 17 кг равно остатку. Такое рассуждение даёт уравнение x − 17 = 35.
Ответ: сначала в ящике было 52 кг яблок. Уравнение помогает записать всю связь между начальным количеством, взятыми яблоками и остатком, не путая искомую величину с известными.
Ученик сразу выполняет первое встретившееся действие, не выяснив, что требуется найти. Так происходит, когда числа в тексте воспринимают как готовый пример, а вопрос задачи не анализируют. Чтобы проверить себя, назови искомую величину и объясни, как выбранное действие приводит именно к ней. Если объяснение не получается, вернись к условию и составь краткую запись.
При сравнении величин иногда выбирают действие не по смыслу, например деление при формулировке «на несколько больше». Ошибка возникает, если ориентироваться на отдельные слова и не выяснять, чем именно отличаются величины. Представь сравнение на схеме или спроси себя, сколько единиц нужно прибавить к меньшему числу, чтобы получить большее. Это поможет увидеть, что речь идёт о разности.
В составной задаче можно пропустить промежуточную величину и попытаться сразу выполнить действие с несвязанными данными. Обычно это случается, когда план решения не составлен, а порядок действий пытаются угадать. Проверь, известны ли все величины, нужные для выбранного действия. Если одна из них ещё неизвестна, сначала найди её отдельным шагом.
В ответе иногда не указывают единицу измерения или не проверяют результат. Число может быть вычислено верно, но без единицы неясно, что именно оно обозначает, а при проверке могла бы обнаружиться ошибка в рассуждении. Сверь ответ с вопросом, подставь найденное значение в исходную связь и укажи нужную единицу. Если результат не соответствует ситуации, пересмотри решение.
Для решения текстовых задач нужно уметь читать условие, выполнять действия с числами и работать с единицами измерения. Простые выражения помогают записывать связи между величинами, а схемы и таблицы — наглядно упорядочивать данные. Уравнения позволяют выразить связь с неизвестной величиной равенством и найти её. Этот общий способ рассуждения пригодится в задачах на движение, работу, стоимость, проценты, дроби и геометрические величины.
Как понять, какое действие нужно выполнить первым?
Сначала выясни, что требуется найти, и посмотри, какие данные связаны с этой величиной. Если для ответа нужно знать ещё одну неизвестную величину, найди её первой. Выбранное действие должно следовать из смысла связи, а не из того, какое число встретилось в тексте раньше.
Чем краткая запись отличается от математической модели?
Краткая запись — один из способов наглядно расположить данные и вопрос задачи, например в строках или таблице. Математическая модель — более широкое понятие: это любое математическое представление условия, в том числе схема, выражение или уравнение. Краткая запись может входить в модель.
Когда для решения задачи удобнее составить уравнение?
Уравнение удобно, когда неизвестную величину можно обозначить буквой, а условие задаёт равенство между известными и неизвестными величинами. Особенно полезен этот способ, если неизвестное связано с данными несколькими действиями. После решения уравнения значение нужно проверить подстановкой в условие.
Как проверить, что полученный ответ подходит к условию?
Сопоставь найденное значение с вопросом задачи и подставь его в исходную связь или уравнение. Проверь вычисления и единицы измерения, а также подумай, реалистичен ли результат: например, число предметов не может быть отрицательным. Затем сформулируй ответ именно на заданный вопрос.
Можно ли решить одну и ту же задачу разными способами?
Да, если каждый способ правильно использует связи между величинами и приводит к ответу, который удовлетворяет условию. Например, задачу можно решить по действиям или составить уравнение. Проверка помогает убедиться, что оба решения дают подходящий результат.
2.68. Решение задач
