"Математика (в 3-х частях)", Демидова Т.Е., Козлова С.А., Тонких А.П.
Круг и окружность встречаются в чертежах, геометрических задачах и предметах вокруг нас. Окружность — это граница, все точки которой равно удалены от центра, а круг включает и эту границу, и область внутри неё. Отрезок от центра до окружности называют радиусом, а проходящий через центр отрезок с концами на окружности — диаметром. Главное соотношение: диаметр вдвое длиннее радиуса.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Окружность — замкнутая линия, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от одной точки. Эту точку называют центром окружности, а расстояние от центра до любой точки линии — радиусом. Центр задаёт положение окружности, а радиус — её размер. Например, окружности с одним центром, но разными радиусами будут иметь разный размер.
Круг — часть плоскости, ограниченная окружностью, вместе с самой окружностью. Значит, окружность показывает только границу, а круг включает и границу, и все точки внутри неё. Это различие помогает точно описывать фигуры: тонкий контур мяча похож на окружность, а вся его плоская круглая область — на круг. Если говорят о точках круга, могут иметь в виду и внутренние точки, и точки границы.
Радиус — отрезок, соединяющий центр окружности с любой её точкой. Словом «радиус» также называют длину этого отрезка: например, радиус может быть равен 3 см. На чертеже центр часто обозначают буквой O, а точку на окружности — A; тогда отрезок OA является радиусом. Радиус нужен, чтобы задать размер окружности и построить её.
Диаметр — хорда, проходящая через центр окружности. Хордой называют отрезок, концы которого лежат на окружности, поэтому у диаметра оба конца тоже находятся на границе. Диаметр состоит из двух радиусов, идущих в противоположные стороны от центра по одной прямой. Если радиус равен r, то длина диаметра d равна 2r.
Чтобы построить окружность циркулем, сначала выбирают точку-центр и нужную длину радиуса. Одну ножку циркуля ставят в центр, а раствор циркуля устанавливают по линейке так, чтобы расстояние между ножками было равно радиусу. Затем, не меняя раствор и удерживая первую ножку на месте, поворачивают циркуль вокруг центра. Вторая ножка проходит все точки, удалённые от центра на выбранное расстояние, поэтому получается окружность.
Все радиусы одной окружности равны не из-за способа их проведения, а по определению окружности. Каждая её точка находится на одном и том же расстоянии от центра. Если провести отрезки от центра к разным точкам линии, каждый из них будет иметь эту одинаковую длину. Поэтому радиусы, направленные в разные стороны, могут выглядеть на чертеже неодинаково, но их длины совпадают.
Окружность и круг связаны как граница и область, которую она ограничивает. Окружность состоит только из тех точек, расстояние от которых до центра равно радиусу. Внутренние точки круга расположены ближе к центру, чем точки границы, а сам круг содержит и внутреннюю область, и окружность. Поэтому закрашивание области внутри линии показывает круг, а проведение только контура — окружность.
Диаметр равен двум радиусам, потому что линия диаметра проходит через центр и заканчивается на окружности с обеих сторон. Если обозначить концы диаметра буквами A и B, а центр — O, отрезок AB можно разделить точкой O на отрезки AO и OB. Каждый из них является радиусом, а значит, длина AB равна AO + OB = r + r = 2r. Именно поэтому, зная радиус, диаметр находят умножением на два, а по диаметру радиус находят делением на два.
Положение точки относительно окружности определяется сравнением её расстояния до центра с радиусом. Когда расстояние равно радиусу, точка лежит на окружности; когда оно меньше — внутри круга, но не на границе. Если расстояние больше радиуса, точка находится вне круга. Сравнение работает потому, что радиус задаёт точную границу между внутренней областью и внешней частью плоскости.
| Понятие | Что обозначает | Как связано с центром и радиусом |
|---|---|---|
| Окружность | Граница круга. | Каждая её точка удалена от центра на один и тот же радиус. |
| Круг | Часть плоскости внутри окружности и сама граница. | Центр находится внутри круга, а радиус задаёт расстояние до границы. |
| Радиус | Отрезок от центра до точки окружности. | Все радиусы одной окружности равны. |
| Диаметр | Отрезок через центр с концами на окружности. | Его длина вдвое больше радиуса. |
Таблица помогает не смешивать фигуру, её границу и отрезки, связанные с центром. Если в задаче дана длина радиуса, можно сразу найти диаметр, а если дана длина диаметра — радиус. Для определения положения точки сравнивают её расстояние до центра с радиусом.
Начерти окружность с центром O и радиусом 3 см. Отметь точку A на окружности, точку B внутри круга и точку C вне круга. Для проверки положения каждой точки используем расстояние от неё до O: оно должно быть равно радиусу для точки на окружности, меньше радиуса для внутренней точки и больше радиуса для внешней. Так условия задачи переводятся в понятные сравнения.
Ответ: A лежит на окружности, B — внутри круга, C — вне круга. Построение можно проверить циркулем или измерением расстояний: OA = 3 см, OB < 3 см, OC > 3 см. Если расстояние до центра совпало с радиусом, точка должна оказаться именно на линии окружности.
Радиус окружности равен 4 см. Нужно найти длину диаметра и начертить окружность. Диаметр проходит через центр и образован двумя радиусами, поэтому достаточно удвоить данную длину. При построении важно использовать в циркуле именно радиус, а не диаметр.
Ответ: диаметр равен 8 см; окружность строят циркулем с раствором 4 см. Проверка проста: половина диаметра должна совпадать с радиусом, а 8 : 2 = 4. Если бы раствор циркуля установили на 8 см, получилась бы окружность с радиусом 8 см, то есть вдвое больше требуемой.
Диаметр окружности равен 12 см. Точка P находится на расстоянии 5 см от центра, а точка Q — на расстоянии 7 см. Чтобы понять, где находятся точки, сначала найдём радиус: он вдвое меньше диаметра. Затем сравним расстояния OP и OQ с радиусом, поскольку равенство, меньшая или большая величина укажут на разные положения.
Ответ: P лежит внутри круга, Q находится вне круга; ни одна из точек не лежит на окружности. Проверка: расстояние точки на окружности должно быть ровно 6 см, а здесь расстояния равны 5 см и 7 см. В этой задаче важно не сравнивать расстояния с диаметром: границу задаёт радиус.
Ошибка — называть окружностью всю область внутри линии. Так происходит, потому что в обычной речи круглую поверхность часто описывают одним словом, но в геометрии граница и область различаются. Окружность — только граница, а круг включает область и границу. Проверь себя вопросом: речь идёт о линии или о всей плоской области?
Иногда радиусом называют только его длину и забывают, что это ещё и отрезок от центра до точки окружности. Путаница возникает потому, что в задачах часто просят найти радиус в сантиметрах, то есть именно числовую длину. Проверка: если нужно показать радиус на чертеже, отметь отрезок с одним концом в центре и другим на окружности, а если нужно вычислить — укажи его длину.
Ошибка — считать диаметр равным радиусу. Диаметр и радиус связаны, но диаметр проходит через центр целиком и включает два радиуса, поэтому он вдвое длиннее. Чтобы проверить ответ, раздели длину диаметра на два: должно получиться значение радиуса. Если оба значения одинаковы, скорее всего, диаметр приняли за радиус.
Точка внутри круга не обязательно лежит на окружности. Такое смешение появляется, когда слово «круг» понимают как обозначение только контура. Для точки на окружности расстояние до центра должно быть равно радиусу, а для внутренней точки — меньше него. Проверь положение измерением или сравнением: равенство означает границу, а не внутреннюю область.
Для изучения круга нужны представления о точке, отрезке, прямой и расстоянии между точками. Без них нельзя описать центр, провести радиус или сравнить положение точки с границей. Радиус и диаметр пригодятся при изучении длины окружности и площади круга: эти величины помогают задавать размер фигуры. Они также встречаются в геометрических задачах, где нужно находить расстояния и строить чертежи.
Чем круг отличается от окружности?
Окружность — только замкнутая линия, то есть граница. Круг включает и эту линию, и все точки внутри неё.
Может ли у одной окружности быть несколько радиусов?
Да, радиус можно провести к любой точке окружности. Таких отрезков много, но их длины равны, потому что все точки окружности находятся на одинаковом расстоянии от центра.
Как связаны радиус и диаметр?
Диаметр проходит через центр и состоит из двух радиусов, расположенных на одной прямой по разные стороны от центра. Поэтому длина диаметра равна удвоенной длине радиуса: d = 2r.
Как понять, находится ли точка внутри круга?
Сравни расстояние от точки до центра с радиусом. Если расстояние меньше радиуса, точка внутри круга; если равно — на окружности; если больше — вне круга.
Можно ли построить окружность без циркуля?
Да, можно обвести круглый предмет, например крышку или стакан. Но циркуль удобнее, когда нужно задать точный центр и радиус.
2.70. Круг
