Бесконечные десятичные дроби

Определения и обозначения

Бесконечная десятичная дробь — запись числа, в которой после запятой бесконечно много цифр. Например, запись 0,333… не заканчивается: многоточие показывает, что цифры продолжаются. Это определение помогает отличить такую запись от конечной, у которой после запятой стоит ограниченное число цифр.

Периодическая десятичная дробь — бесконечная десятичная дробь, в которой одна или несколько цифр повторяются в одном и том же порядке. Например, в записи 0,272727… повторяется группа 27. Это свойство позволяет кратко записать длинную, бесконечно продолжающуюся последовательность цифр.

Период десятичной дроби — группа цифр, которая повторяется бесконечно; её записывают в скобках, например 0,(27). Скобки показывают, какие цифры нужно повторять: 0,(27) означает 0,272727… . Такая запись нужна, чтобы точно обозначить дробь, не выписывая бесконечно много цифр.

Как это устроено

Чтобы получить десятичную запись обыкновенной дроби, нужно разделить её числитель на знаменатель. Например, при делении 1 на 3 мы получаем 0 целых, а затем продолжаем деление после запятой: дописываем к остатку ноль и находим очередную цифру частного. Деление может не закончиться, потому что остаток не всегда становится нулём. Если остаток равен нулю, цифр после запятой больше не требуется; если нет, можно продолжать деление.

При делении с остатком возможны лишь конечное число разных остатков: каждый остаток — целое число от нуля до числа, меньшего делителя. Если остаток повторился, дальнейшие шаги деления будут точно такими же, как после его первого появления. Значит, повторятся и последующие цифры частного, а дробь станет периодической. Именно поэтому длинное деление не может бесконечно давать всё новые остатки.

Повторяющиеся цифры удобно обозначать скобками. Например, 0,333… = 0,(3): скобки означают, что цифра 3 повторяется бесконечно. А запись 0,272727… = 0,(27) показывает, что повторяется уже группа из двух цифр — 27. Многоточие в развёрнутой записи и скобки в короткой передают одну и ту же бесконечную последовательность.

Иногда повторение начинается не сразу после запятой. В дроби 0,8333… цифра 8 появляется один раз, а затем бесконечно повторяется 3, поэтому запись сокращают до 0,8(3). Чтобы найти период, сравнивают цифры подряд и определяют место, с которого начинается неизменное повторение. Цифры до этого места записывают перед скобками, а повторяющуюся часть — внутри.

Периодом считают самую короткую группу цифр, которая повторяется. Например, запись 0,272727… можно представить как повторение 2727, но это длиннее, чем нужно: достаточно группы 27. Короткий период делает запись яснее и не включает в себя лишнее повторение. Проверить выбор можно, мысленно повторив группу несколько раз и сравнив результат с исходной записью.

Виды десятичных дробей

Сравни признаки в таблице: так легче понять, чем конечная запись отличается от бесконечной периодической. Если цифры заканчиваются, скобки для периода не нужны. Если после некоторого места повторяется одна и та же группа, эту группу записывают в скобках.

Разбор задач

Задача 1. Выполни деление 1 : 3 и запиши результат десятичной дробью.

1. Делим 1 на 3: целых единиц получить нельзя, поэтому ставим запятую и рассматриваем десятые.
2. К остатку 1 приписываем ноль. 10 : 3 = 3, остаток равен 1.
3. Остаток снова равен 1, значит, следующий шаг даст ту же цифру 3 и тот же остаток. Так будет повторяться бесконечно.
4. Записываем повторяющуюся цифру в скобках: 1 : 3 = 0,(3).

Ответ: 0,(3).

Задача 2. Выполни деление 5 : 6 и запиши результат с выделенным периодом.

1. 5 меньше 6, поэтому целая часть частного равна нулю. Ставим запятую и делим 50 десятых на 6.
2. 50 : 6 = 8, остаток равен 2. Значит, первая цифра после запятой — 8.
3. Приписываем к остатку ноль: 20 : 6 = 3, остаток снова 2. Остаток повторился, поэтому цифра 3 будет повторяться дальше.
4. Цифра 8 стоит до начала повторения, а период состоит из 3. Получаем 5 : 6 = 0,8(3).

Ответ: 0,8(3).

Задача 3. Выполни деление 7 : 11, найди период и проверь запись умножением полученной дроби на 11.

1. 7 меньше 11, поэтому целая часть равна нулю. Для десятых делим 70 на 11: получаем 6, остаток 4.
2. Приписываем ноль к остатку: 40 : 11 = 3, остаток 7. Следующий шаг начинается с остатка 7, который уже был в начале деления.
3. Значит, цифры 6 и 3 будут повторяться циклом. Запись результата: 7 : 11 = 0,(63).
4. Проверяем умножением: 0,(63) · 11 = 6,(999) = 7, поскольку 0,(999)… соответствует 1. Значит, запись результата верна.

Ответ: 0,(63).

Типичные ошибки

• Считать периодом только одну цифру. В записи 0,(27) повторяется вся группа 27, а не только цифра 7. Так ошибаются, если не проверяют последовательность цифр целиком. Для самопроверки несколько раз повтори группу в скобках и сравни полученную запись с исходной.
• Заключать в скобки цифры до периода. В числе 0,8(3) цифра 8 встречается один раз и не входит в период. Ошибка возникает, когда скобки ставят просто вокруг цифр после запятой. Проверь, какие цифры действительно повторяются бесконечно.
• Записывать период с лишними цифрами. Например, вместо короткой группы 27 можно ошибочно указать 2727. Это происходит, если за период принимают несколько повторений одной и той же группы. Найди наиболее короткую группу, повторение которой даёт всю запись.
• Считать, что длинная последовательность цифр обязательно закончится. Повторившийся остаток означает, что деление пойдёт по уже знакомым шагам и цифры снова начнут повторяться. Можно ошибиться, если продолжать вычисления, не следя за остатками. Записывай остатки: как только встретился прежний, отметь начало периода.

Связь с другими темами

Для этой темы нужно уметь делить натуральные числа с остатком и понимать, какое значение имеет каждая цифра в десятичной записи. Деление числителя на знаменатель связывает обыкновенную дробь с её десятичной записью: например, именно так получают 0,(3) из дроби 1/3. Позже периодические дроби пригодятся при сравнении чисел и вычислениях с ними. Умение находить период помогает не путать бесконечную запись с конечной.

Что запомнить

• У бесконечной десятичной дроби после запятой бесконечно много цифр.
• Если при делении повторился остаток, дальше начнут повторяться цифры частного.
• Повторяющуюся группу цифр называют периодом.
• Период записывают в круглых скобках.
• В записи 0,8(3) цифра 8 стоит до периода, а период равен 3.
• Периодом считают самую короткую повторяющуюся группу цифр.