§ 3. Бесконечные десятичные дроби

Определения и обозначения

Бесконечная десятичная дробь — запись числа с бесконечным количеством цифр после запятой. В отличие от конечной дроби, такая запись не заканчивается: например, 0,333… продолжается без конца. По точкам после цифр часто показывают, что запись продолжается. Это понятие нужно, чтобы описывать десятичным способом числа, чьё деление не завершается.

Периодическая десятичная дробь — бесконечная дробь, в которой одна или несколько цифр, начиная с некоторого места, повторяются. Например, в записи 0,272727… повторяется группа 27. Периодическая запись показывает закономерность, а не просто длинный набор цифр. По ней можно понять, как продолжить дробь.

Период десятичной дроби — наименьшая группа цифр, которая повторяется в периодической дроби. Его обозначают скобками: 0,(27) означает 0,272727…; цифры в скобках нужно повторять снова и снова. Группа может состоять из одной цифры или из нескольких. Наименьшая группа нужна, чтобы не записывать один и тот же повтор лишними цифрами.

Непериодическая бесконечная десятичная дробь — запись, в которой цифры после запятой не складываются в повторяющуюся группу. Например, у числа √2 десятичные цифры бесконечны и не образуют периода. Такая запись отличается от периодической не длиной, а отсутствием повторяющегося рисунка. Поэтому нельзя считать любую бесконечную дробь периодической.

Как это устроено

Чтобы получить десятичную запись дроби, нужно разделить её числитель на знаменатель. Если деление не закончилось нацело, ставят запятую, а к остатку приписывают ноль — это то же самое, что умножить остаток на 10. Полученное число делят на знаменатель, а частное становится следующей цифрой после запятой. Затем с новым остатком выполняют те же действия.

Деление заканчивается, если остаток равен нулю: дальше приписывать цифры уже не нужно, потому что никакой остаток не остался. Например, при делении 1 на 4 после получения цифры 2 остаток равен 2; умножаем его на 10 и делим 20 на 4 без остатка. Значит, десятичная запись завершилась. Это и есть конечная десятичная дробь.

Если после очередного шага остаток не равен нулю, деление можно продолжать. Остаток при делении на знаменатель может быть только одним из целых чисел от 1 до числа на единицу меньше знаменателя. Таких вариантов конечное количество, поэтому при продолжительном делении какой-то остаток обязательно встретится снова. Если остаток не стал нулём, повторение остатка приводит к повторению цифр.

Например, при делении 1 на 6 сначала получаем 0, остаток 1; умножаем 1 на 10 и делим 10 на 6. Получаем цифру 1 и остаток 4, затем 40 : 6 даёт цифру 6 и остаток 4. Остаток 4 повторился, значит, следующие шаги будут такими же и цифра 6 будет повторяться: 1 : 6 = 0,1(6). Период здесь начинается после первой цифры после запятой.

Бесконечная запись не обязательно периодическая. При делении обыкновенной дроби остатки ограничены, поэтому повторение остатка объясняет период; однако у чисел, таких как √2, десятичная запись не заканчивается и повторяющейся группы в ней нет. Сравнивать эти случаи нужно по устройству цифр, а не по тому, что обе записи бесконечны. Именно поэтому бесконечность сама по себе не служит признаком периода.

Виды десятичных дробей и их запись

Сначала определите, заканчивается ли запись, затем проверьте, повторяется ли группа цифр. В периодической дроби скобки показывают именно повторяющуюся часть, а не все цифры после запятой. При делении ищите закономерность в остатках.

Разбор задач

Продолжить деление 1 : 4 и записать десятичную дробь

Нужно получить цифры после запятой и остановиться, когда остаток станет нулём. При делении 1 на 4 целой части не получается, поэтому записываем 0 и ставим запятую. Дальше на каждом шаге умножаем остаток на 10.

1. Делим 1 на 4: целая часть равна 0, остаток равен 1.
2. Умножаем остаток на 10: получаем 10. Делим 10 на 4, получаем цифру 2, остаток 2.
3. Умножаем 2 на 10: получаем 20. Делим 20 на 4, получаем цифру 5, остаток 0.
4. Остаток стал нулём, поэтому дальнейшие цифры получать не нужно.

Ответ: 1 : 4 = 0,25. Проверка: 0,25 × 4 = 1, а значит, деление выполнено верно. Нулевая часть после запятой не требуется, поскольку запись уже закончилась.

Выполнить деление 1 : 6 и отметить период

Здесь нужно не только получить цифры, но и заметить, когда повторится остаток. Если остаток повторился, дальнейшие шаги деления будут такими же, а значит, цифры тоже начнут повторяться. Начинаем деление с остатка 1.

1. Поскольку 1 меньше 6, целая часть равна 0; ставим запятую.
2. Умножаем остаток 1 на 10. Число 10 при делении на 6 даёт цифру 1 и остаток 4.
3. Умножаем остаток 4 на 10. Число 40 даёт цифру 6 и остаток 4.
4. Остаток 4 уже встречался. Значит, снова получится цифра 6 и остаток 4, поэтому 6 будет повторяться.

Ответ: 1 : 6 = 0,1(6), период — 6. Период начинается не сразу после запятой: перед ним стоит цифра 1. Если записать 0,(16), получится другая последовательность, поэтому важно отметить границу периода точно.

При делении 5 : 7 определить, когда повторится остаток

Вместо того чтобы выписывать много цифр, будем следить за остатками. На каждом шаге деления остаток умножается на 10, а затем делится на 7. Первые остатки помогут увидеть, в какой момент начнётся повтор.

1. Начальный остаток — 5. Умножаем его на 10: 50 : 7 даёт цифру 7 и остаток 1.
2. Остаток 1 превращаем в 10: 10 : 7 даёт цифру 1 и остаток 3.
3. Остаток 3 превращаем в 30: 30 : 7 даёт цифру 4 и остаток 2.
4. Остаток 2 превращаем в 20: 20 : 7 даёт цифру 2 и остаток 6.
5. Продолжая деление, получаем остаток 4, затем остаток 5. Это начальный остаток, поэтому дальнейший ход повторится.

Ответ: остаток 5 повторяется после шести цифр; 5 : 7 = 0,(714285). После возвращения к остатку 5 снова получатся цифры 714285. Если продолжить деление, эта группа будет повторяться без конца.

Типичные ошибки

• Считать любую бесконечную дробь периодической. Это ошибка, потому что бесконечное количество цифр ещё не означает, что среди них есть повторяющаяся группа. Её допускают, путая длину записи с её устройством. Проверьте, повторяется ли одна и та же последовательность, а не только отдельные цифры.
• Называть периодом только одну цифру. Период может состоять из нескольких цифр, например 27 в записи 0,(27). Ошибка возникает, когда замечают повтор одной цифры, но не проверяют всю повторяющуюся группу. Сверьте несколько повторов и выберите наименьшую группу, которая точно повторяется.
• Начинать период не с той цифры. Перед периодом могут быть цифры, которые не повторяются, как 1 в числе 0,1(6). Если включить её в период, получится другая запись. Чтобы проверить себя, проследите, с какой цифры начинается повтор после возвращения к тому же остатку.
• Терять или менять остаток при делении. Тогда следующая цифра и момент повторения могут быть определены неверно. Обычно это случается, если записывать только цифры и не отмечать остатки после каждого шага. Записывайте остаток рядом с полученной цифрой и проверяйте деление умножением с учётом остатка.

Связь с другими темами

До изучения этой темы нужно уметь делить натуральные числа с остатком и продолжать деление после запятой. Это связывает обыкновенные дроби с их десятичной записью: например, дробь 1/6 можно представить как 0,1(6). Такие записи помогают сравнивать и преобразовывать дроби, когда удобно пользоваться десятичным видом. Позже представление чисел бесконечными десятичными дробями поможет различать рациональные и иррациональные числа.

Что запомнить

• При делении с остатком каждую следующую цифру десятичной записи получают после умножения остатка на 10.
• Если остаток стал равен нулю, десятичная запись заканчивается.
• При делении с ненулевыми остатками остатки могут повториться.
• Повторение остатка приводит к повторению цифр десятичной записи.
• Период — наименьшая группа цифр, которая повторяется.
• Период может начинаться не сразу после запятой.