"Математика", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
Когда два поезда движутся навстречу друг другу, расстояние между ними становится всё меньше, пока они не встретятся. Чтобы решить задачу о такой встрече, нужно учитывать движение обоих поездов: за каждый час они вместе сокращают расстояние на сумму своих путей. Зная начальное расстояние и скорости, можно найти время встречи, а затем — путь каждого поезда. Главное — представить движение на схеме, согласовать единицы измерения и проверить, что сумма пройденных расстояний равна расстоянию между пунктами.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Встречное движение — движение двух объектов навстречу друг другу, при котором расстояние между ними уменьшается. Например, два поезда выехали из разных городов и направляются один к другому. Это понятие помогает понять по условию, почему их пути нужно рассматривать вместе.
Скорость сближения — скорость, с которой уменьшается расстояние между объектами; при движении навстречу она равна сумме их скоростей. Если поезда едут со скоростями v₁ и v₂, то скорость сближения vсбл = v₁ + v₂. Она нужна, чтобы узнать, за какое время поезда преодолеют расстояние между ними.
Время до встречи — промежуток времени от начала движения до момента, когда объекты окажутся в одной точке. Его обозначают буквой t и обычно выражают в часах, минутах или секундах. Зная это время, можно вычислить, сколько успел проехать каждый объект.
Расстояние между объектами — промежуток между их положениями на пути; при встречном движении оно уменьшается на пройденные навстречу расстояния. Начальное расстояние обозначим s, а пути поездов до встречи — s₁ и s₂. В момент встречи s₁ + s₂ = s, поэтому это равенство помогает составить и проверить решение.
Сначала выясни, откуда и куда движутся объекты. Если они едут из разных пунктов один к другому, значит, расстояние между ними сокращается. Нарисуй отрезок между пунктами и отметь поезда у его концов стрелками, направленными навстречу. На схеме легче увидеть, что каждый поезд приближает встречу, а не удаляется от другого.
Представь, что за один час первый поезд проехал 50 км, а второй — 40 км. Начальный промежуток стал меньше на 50 км с одной стороны и ещё на 40 км с другой. Поэтому за один и тот же час расстояние уменьшилось на 50 + 40 = 90 км. Так происходит и за любой другой промежуток времени: оба пути вместе «съедают» начальное расстояние.
Поскольку за час расстояние между поездами уменьшается на сумму их путей, скорость сближения находят сложением скоростей. Если поезд едет со скоростью v₁, а другой — со скоростью v₂, то vсбл = v₁ + v₂. Это не скорость одного из поездов, а скорость изменения расстояния между ними. Поэтому складывать скорости нужно именно тогда, когда объекты движутся навстречу.
Используй знакомую связь между путём, скоростью и временем: s = vt. Для задачи о встрече в этой формуле вместо пути берут начальное расстояние, а вместо скорости — скорость сближения: s = vсблt. Отсюда время до встречи t = s : vсбл, то есть начальное расстояние нужно разделить на сумму скоростей. Все величины должны быть выражены в согласованных единицах.
После вычислений проверь смысл ответа. Оба поезда начали движение одновременно, значит, до встречи они ехали одинаковое время. Найди путь каждого умножением его скорости на это время, а затем сложи пути. Их сумма должна совпасть с расстоянием между пунктами: если она меньше или больше, проверь сложение скоростей, деление и единицы измерения.
| Величина | Обозначение | Как найти |
|---|---|---|
| Начальное расстояние между объектами | s | Дано в условии или находится по схеме |
| Скорости объектов | v₁, v₂ | Даны в условии |
| Скорость сближения | vсбл | vсбл = v₁ + v₂ |
| Время до встречи | t | t = s : vсбл |
| Расстояния, пройденные объектами до встречи | s₁, s₂ | s₁ = v₁t, s₂ = v₂t |
Сначала найди в условии начальное расстояние и скорости, а затем выбери нужную строку таблицы. Если требуется время, используй скорость сближения; если пути поездов — умножь их скорости на время встречи. После этого проверь, что s₁ + s₂ = s.
Два поезда одновременно отправились навстречу друг другу из пунктов, расстояние между которыми 180 км. Скорости поездов — 50 км/ч и 40 км/ч. Нужно найти время до встречи. Сложим скорости, потому что за каждый час оба поезда вместе сокращают промежуток между пунктами.
Ответ: поезда встретятся через 2 часа. Проверим смысл: за два часа первый проедет 100 км, второй — 80 км, а вместе они преодолеют 180 км. Это совпадает с расстоянием между пунктами, значит, результат верен.
Два поезда выехали навстречу друг другу из городов, расстояние между которыми 360 км. Первый ехал со скоростью 70 км/ч, а второй — 50 км/ч. Требуется определить, сколько километров до встречи проехал каждый поезд. Сначала найдём время, потому что оба поезда двигались до встречи одинаковое количество часов.
Ответ: первый поезд прошёл 210 км, второй — 150 км. Для проверки сложим пути: 210 + 150 = 360 км. Их сумма равна начальному расстоянию между городами.
Два поезда одновременно вышли навстречу друг другу из пунктов, расстояние между которыми 420 км, и встретились через 3 часа. Скорость первого поезда была 80 км/ч. Найдём скорость второго. За три часа оба поезда вместе преодолели 420 км, поэтому сначала определим их общую скорость сближения.
Ответ: скорость второго поезда — 60 км/ч. Проверим: за три часа первый проехал 240 км, а второй — 180 км. Вместе это 420 км, то есть расстояние между пунктами.
При встречном движении иногда вычитают скорости, как будто один объект догоняет другой. Такую ошибку допускают, не замечая, что оба поезда одновременно уменьшают расстояние между собой. Представь движение на отрезке: за час пройденные ими пути складываются. Проверь вычисление, записав vсбл = v₁ + v₂.
Время встречи могут посчитать по скорости только одного поезда. Тогда в расчёте не учитывается путь второго, хотя он тоже сокращает начальный промежуток. Для проверки используй сумму скоростей в формуле t = s : (v₁ + v₂). Если известно время, после нахождения путей убедись, что учтены оба поезда.
Ещё одна ошибка — сложить пути поездов, но приравнять их не к расстоянию между пунктами. При встрече сумма путей должна равняться именно начальному расстоянию между местами старта, а не скорости или времени. Эта ошибка возникает, когда величины перепутаны или условие представлено без схемы. Запиши s₁ + s₂ = s и проверь единицы всех трёх величин.
Нельзя делить расстояние в километрах на скорость в метрах в минуту, не переводя единицы. Иначе числа относятся к разным мерам, а полученное время будет неверным. Ошибка появляется, если смотреть только на числа, а не на подписи единиц. Перед вычислением переведи величины, например, в километры и километры в час, а затем проверь, что ответ получился в часах.
Чтобы решать задачи на встречу, нужно уметь пользоваться формулой пути s = vt и переводить единицы скорости и времени. Эти знания позволяют находить путь каждого поезда и выполнять вычисления с подходящими единицами. Скорость сближения пригодится и в задачах о движении в противоположных направлениях или движении вслед, хотя способ изменения расстояния там нужно определить отдельно. Запись величин и равенств по условию станет основой для составления уравнений в следующих задачах.
Почему при движении поездов навстречу скорости нужно складывать?
За один час первый поезд проходит часть расстояния с одной стороны, а второй — с другой. Поэтому промежуток между ними уменьшается на сумму этих двух расстояний, то есть скорость сближения равна сумме скоростей.
Как найти время до встречи двух поездов?
Сначала сложи скорости поездов — так ты найдёшь скорость сближения. Затем раздели начальное расстояние между пунктами на эту скорость: t = s : (v₁ + v₂).
Как определить, какое расстояние каждый поезд прошёл до встречи?
Найди общее время движения до встречи. Затем умножь скорость каждого поезда на это время: путь первого равен v₁t, а путь второго — v₂t.
Что делать, если в задаче неизвестна скорость одного из поездов?
По начальному расстоянию и времени встречи найди скорость сближения: vсбл = s : t. Затем вычти из неё известную скорость — получится скорость второго поезда.
Как проверить, что найденное время встречи верно?
Умножь скорость каждого поезда на найденное время и сложи полученные пути. Если сумма равна начальному расстоянию, а оба поезда двигались это время, решение согласуется с условием.
§ 1. Встреча поездов
