§ 2. Колодец

Определения и обозначения

Нулевая отметка — уровень земли, относительно которого задают глубину и высоту. Её удобно считать началом отсчёта: тогда положение любого предмета можно описать числом. В задачах о колодце ноль находится у поверхности земли. Все расстояния ниже и выше отсчитывают именно от этой отметки.

Положительное число — число, обозначающее положение выше нулевой отметки. Например, точку на 2 м выше земли можно записать как +2 или просто 2. Такое число помогает отличить высоту над землёй от положения под землёй. Знак «плюс» иногда не пишут, но он подразумевается.

Отрицательное число — число, обозначающее положение ниже нулевой отметки. Если дно расположено на 7 м ниже земли, его координата равна −7. Минус указывает сторону от нуля, а не то, что длина или расстояние меньше нуля. Поэтому отрицательное число описывает положение точки, а не саму глубину как длину.

Модуль числа — расстояние от соответствующей точки до нулевой отметки. Например, модуль числа −7 равен 7, то есть |−7| = 7. Модуль не бывает отрицательным, потому что расстояние выражает длину. Он нужен, когда требуется узнать, насколько далеко предмет от уровня земли, не учитывая, выше он или ниже.

Как это устроено

Уровень земли принимают за ноль, потому что от него удобно отсчитывать и высоту, и глубину. Если считать началом отсчёта дно или другую точку, положение объектов пришлось бы каждый раз описывать относительно нового места. Ноль создаёт общую опору для всех измерений. На вертикальной шкале точки над ним получают положительные координаты, а точки под ним — отрицательные.

Глубину колодца записывают отрицательным числом не потому, что длина стала отрицательной, а потому, что дно находится ниже нулевой отметки. Например, координата −7 м говорит: точка расположена на 7 м ниже земли. Чтобы узнать, каково расстояние до дна от поверхности, берут модуль координаты: |−7| = 7 м. Так не смешиваются два разных вопроса — где находится объект и как далеко он от нуля.

Изменение положения удобно записывать действием с числами, а направление выражать знаком. Подъём на 4 м — это изменение +4, а спуск на 2 м — изменение −2. Если ведро было на координате −9 и поднялось на 4 м, его новая координата равна −9 + 4 = −5. Сложение здесь показывает, что к прежнему положению прибавили изменение, а знак изменения задаёт направление.

Сравнивать положения можно по вертикальной шкале: точка ниже соответствует меньшему числу. Поэтому −9 меньше −4, хотя расстояние 9 м больше расстояния 4 м. На шкале −9 находится дальше вниз от нуля, а значит, ниже. Сравнение по модулю здесь не подходит: модуль показывает удалённость, но не отвечает на вопрос, какая точка расположена выше.

Когда предмет пересекает уровень земли, его положение переходит из одной стороны нуля на другую, поэтому меняется знак координаты. Например, если поднять предмет с координаты −2 на 3 м, получим −2 + 3 = 1: он окажется на 1 м выше земли. До перехода через ноль координата была отрицательной, а после стала положительной. Само движение вверх всё время увеличивало координату, даже когда предмет находился ещё под землёй.

Положение относительно уровня земли и его числовая запись

Сначала выбери нулевую отметку, затем определи, где находится объект: выше неё или ниже. Для расстояния до нуля найди модуль координаты, а при движении прибавь к прежней координате изменение со знаком направления. Буква h в таблице обозначает величину расстояния или перемещения.

Разбор задач

Дно колодца на глубине 7 м

Дно находится ниже уровня земли, поэтому его положение нужно записать отрицательной координатой. При этом вопрос о расстоянии до нулевой отметки требует найти длину, а не оставить знак координаты. Разделим решение на запись положения и определение расстояния.

1. Принимаем уровень земли за ноль.
2. Дно расположено на 7 м ниже нуля, значит, его координата равна −7 м.
3. Находим модуль координаты: |−7| = 7 м.

Ответ: положение дна — −7 м, расстояние до нулевой отметки — 7 м. Проверка проста: знак минус указывает вниз, а расстояние остаётся положительным. Полученные координата и расстояние отвечают на разные части условия.

Ведро подняли из колодца

Ведро сначала было на глубине 9 м, то есть его координата относительно земли равнялась −9 м. Подъём на 4 м направлен вверх, поэтому изменение положительное. Прибавим его к прежней координате, чтобы узнать новое положение ведра.

1. Записываем начальную координату: −9 м.
2. Записываем подъём как изменение +4 м.
3. Вычисляем: −9 + 4 = −5 м.
4. Так как результат отрицательный, ведро всё ещё ниже земли; модуль 5 показывает глубину.

Ответ: ведро оказалось на глубине 5 м. Проверка по смыслу: после подъёма оно должно быть ближе к поверхности, чем раньше. Глубина уменьшилась с 9 м до 5 м, поэтому результат подходит.

Поплавок и изменение уровня воды

Поплавок находился на глубине 6 м, значит, его исходная координата равна −6 м. В этой модели подъём воды на 3 м означает изменение положения поплавка вверх на +3 м, а последующее опускание на 5 м — изменение −5 м. Выполним действия по порядку, сохраняя знак каждого изменения.

1. Записываем начальную координату: −6 м.
2. После подъёма воды на 3 м получаем: −6 + 3 = −3 м.
3. Уровень опускается на 5 м, поэтому вычитаем 5: −3 − 5 = −8 м.
4. Проверяем: общий результат изменений равен +3 − 5 = −2 м, поэтому поплавок оказался на 2 м ниже начального положения.

Ответ: новое положение поплавка — −8 м, то есть 8 м ниже уровня земли. Результат согласуется с общим изменением: после подъёма вода опустилась сильнее, чем поднялась. Поэтому поплавок оказался ниже своей исходной отметки −6 м.

Типичные ошибки

Глубину иногда записывают положительным числом, потому что воспринимают её только как длину. Но координата показывает сторону от нуля, поэтому положение под землёй записывается со знаком минус. Проверь себя вопросом: требуется назвать расстояние или положение точки? Для расстояния ответ положительный, для координаты ниже земли — отрицательный.

Число −7 путают с расстоянием 7 м и считают, будто это одно и то же. Их модули совпадают, но знак координаты сообщает, где находится точка, а модуль — как далеко она от нуля. Ошибка возникает, если не различать положение и длину. Для проверки отдельно подпиши координату и расстояние.

При подъёме глубина уменьшается, но в записи иногда по ошибке вычитают положительное изменение из отрицательной координаты. Подъём направлен вверх, значит, это прибавление положительного числа: например, −9 + 4. Сверь действие с движением: после подъёма координата должна увеличиться, а глубина — уменьшиться.

Отрицательные числа сравнивают по модулю и заключают, что −9 больше −4. Так делают, потому что 9 больше 4, но на шкале точка −9 расположена ниже точки −4. Значит, верно −9 < −4. Чтобы проверить сравнение, представь числа на вертикальной шкале и посмотри, какое находится ниже.

Связь с другими темами

Для задач о колодце пригодятся координатная прямая, целые числа и правила их сравнения. Нужно также уметь выполнять сложение и вычитание величин с учётом знаков. На прямой отрицательные числа располагаются слева от нуля, а в вертикальной модели — ниже него.

Такая запись готовит к изучению рациональных чисел и координатной плоскости. Описание начального положения и его изменения помогает решать задачи, где величина меняется несколько раз. Важно отличать координату от расстояния и следить за направлением каждого изменения.

Модель нуля и знаков используют не только для глубины. Ею описывают температуру ниже и выше нуля, высоту над уровнем моря, а также прибыль и убыток. В каждом случае знак показывает сторону или направление относительно выбранной точки отсчёта.

Что запомнить

• Уровень земли можно принять за нулевую отметку.
• Положение ниже нуля записывают отрицательным числом.
• Положение выше нуля записывают положительным числом.
• Модуль числа показывает расстояние до нулевой отметки.
• При движении вверх координата увеличивается.
• При движении вниз координата уменьшается.
• Отрицательное число с большим модулем является меньшим.