"Математика", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
Из листа бумаги можно сделать коробку без крышки: нужно вырезать одинаковые квадраты по углам и загнуть края. Размер квадратов меняет высоту коробки и размеры её дна, поэтому меняется и объём. Чтобы найти наибольший объём, недостаточно выбрать самую высокую коробку: нужно проверить, какие размеры вырезов допустимы, вычислить объём каждого подходящего варианта и сравнить результаты.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Наибольший объём — самый большой объём среди вариантов, которые можно изготовить при допустимых размерах вырезов. Это значит, что недостаточно найти любой способ сложить коробку: нужно сравнить подходящие способы и выбрать лучший. Понятие помогает точно сформулировать цель задачи.
Объём прямоугольного параллелепипеда — произведение его длины, ширины и высоты. Для коробки без крышки это произведение длины дна, ширины дна и высоты стенок. Формула позволяет сравнивать вместимость коробок, даже если они имеют разную форму.
Переменная величина — величина, которая может принимать разные значения. Сторону вырезаемых квадратов удобно обозначить буквой x: выбрав другое x, мы получим другую коробку. Такое обозначение помогает записывать размеры и объём одной формулой.
Оптимальный вариант — допустимый способ изготовления коробки, при котором её объём наибольший. Например, это может быть вырезание квадратов определённого размера из листа заданных размеров. Слово «оптимальный» означает, что результат лучше остальных проверенных вариантов по выбранному условию.
Чтобы получить коробку без крышки, из листа вырезают одинаковые квадраты по углам, а оставшиеся края загибают вверх. Сгибы становятся стенками, а часть листа посередине — дном. Квадраты должны быть одинаковыми, чтобы все четыре края можно было поднять на одну высоту и получить коробку.
Обозначим сторону каждого вырезаемого квадрата буквой x. После загибания края высота коробки равна x, потому что именно на такую высоту поднимаются стенки. Если увеличить вырезы, стенки станут выше, но от листа для дна останется меньше материала. Поэтому одновременно меняются и высота, и размеры основания.
Пусть длина листа равна a, а ширина — b. По длине вырезают квадрат у каждого из двух концов, поэтому длина дна равна a − 2x; по ширине происходит то же самое, и ширина дна равна b − 2x. Объём прямоугольного параллелепипеда находят умножением трёх измерений. Значит, для такой коробки V = x(a − 2x)(b − 2x).
Нельзя выбирать x произвольно: сторона выреза должна быть больше нуля, а после вырезания должно остаться место для дна. В частности, x должен быть меньше половины меньшей стороны листа, иначе соответствующая сторона дна станет нулевой или отрицательной. Такая коробка уже не будет иметь настоящего дна, поэтому этот размер не подходит.
Для сравнения нескольких вариантов сначала проверяют, допустим ли каждый размер выреза, а затем находят для него длину дна, ширину дна, высоту и объём. Результаты удобно записать в таблицу: тогда видно, как меняются размеры и какой объём получился. Наибольшим будет самый большой из вычисленных объёмов, а соответствующий ему размер вырезов даст оптимальный вариант среди проверенных.
В таблице x обозначает сторону вырезаемого квадрата, а a и b — длину и ширину листа. Подставь в выражения размеры своего листа, затем вычисли объём для каждого допустимого x. Сравни результаты в последнем столбце: наибольшее число покажет лучший из проверенных вариантов.
| Сторона вырезаемого квадрата | Длина дна | Ширина дна | Высота коробки | Объём |
|---|---|---|---|---|
| Несколько допустимых размеров вырезаемых квадратов: x₁, x₂, x₃ | a − 2x | b − 2x | x | x(a − 2x)(b − 2x) |
| Размер, при котором объём получился наибольшим: x* | a − 2x* | b − 2x* | x* | наибольший из полученных объёмов |
Из квадратного листа со стороной 12 см делают коробку без крышки, вырезая в углах квадраты со стороной 2 см. Нужно найти её объём. Сначала определим размеры коробки: каждый вырез влияет на оба конца каждой стороны листа, а высота будет равна стороне выреза.
Найдём длину дна: 12 − 2 · 2 = 8 см. Столько же составляет ширина дна, потому что исходный лист квадратный.
Высота коробки равна 2 см. Теперь используем формулу объёма прямоугольного параллелепипеда: V = длина · ширина · высота.
Вычислим: V = 8 · 8 · 2 = 128 см³. Кубические сантиметры указывают, что получен объём.
Ответ: 128 см³.
Сравним коробки, сделанные из листа 24 × 16 см, если сторона квадратов равна 2 см или 3 см. Для честного сравнения нужно в обоих случаях найти все три измерения, а не только заметить, что одна коробка выше. Оба значения выреза меньше половины короткой стороны листа, то есть 8 см, поэтому их можно проверить.
При x = 2 см длина дна равна 24 − 4 = 20 см, ширина — 16 − 4 = 12 см, высота — 2 см. Объём: 20 · 12 · 2 = 480 см³.
При x = 3 см длина дна равна 24 − 6 = 18 см, ширина — 16 − 6 = 10 см, высота — 3 см. Объём: 18 · 10 · 3 = 540 см³.
Сравним результаты: 540 см³ больше 480 см³. Значит, из этих двух вариантов больше вместит коробка с вырезами по 3 см.
Ответ: объём при вырезах 2 см — 480 см³, при вырезах 3 см — 540 см³; больший объём даёт вариант 3 см.
Для листа 20 × 14 см рассмотрим несколько допустимых значений x и выберем то, при котором объём наибольший. Короткая сторона равна 14 см, поэтому для дна должен выполняться расчёт 14 − 2x > 0: подойдут положительные x меньше 7 см. Возьмём целые значения 1, 2, 3, 4, 5 и 6 см, а затем посчитаем объём каждого варианта.
Для каждого x вычисляем длину дна как 20 − 2x, ширину как 14 − 2x, высоту как x. Затем перемножаем эти три числа.
Получаем: при x = 1 объём 216 см³; при x = 2 — 384 см³; при x = 3 — 528 см³; при x = 4 — 576 см³; при x = 5 — 500 см³; при x = 6 — 288 см³.
Сравниваем значения: наибольшее из полученных — 576 см³. Оно получилось при x = 4 см, значит, среди рассмотренных целых размеров вырезов этот вариант оптимальный.
Ответ: среди проверенных значений наибольший объём равен 576 см³ при вырезах со стороной 4 см.
Считать высотой только сторону выреза и забыть про изменение дна. Высота действительно равна x, поэтому легко остановиться на этом измерении и умножить его на исходные стороны листа. Но вырезы забирают материал у дна, и такой расчёт завышает объём. Проверка: после определения высоты отдельно вычисли длину и ширину дна.
Вычитать из стороны листа только один размер выреза. Так происходит, если учесть квадрат лишь на одном углу этой стороны. На самом деле квадраты удалены с обоих концов, поэтому нужно вычитать 2x. Проверка: мысленно отметь два выреза вдоль каждой стороны и убедись, что в расчёте учтены оба.
Выбирать слишком большой вырез. При большом x одна из сторон дна может стать нулевой или отрицательной, хотя полученные числа иногда продолжают подставлять в формулу. Так нельзя описать настоящую коробку: у неё должно быть дно с положительными размерами. Проверяй, что x положителен и меньше половины меньшей стороны листа.
Объявлять лучшим самый высокий вариант или выбирать его на глаз. Высота — только один из трёх множителей, а увеличение выреза уменьшает дно. Поэтому высокая коробка может иметь меньший объём, чем более низкая. Проверка проста: вычисли и сравни объёмы всех рассматриваемых допустимых вариантов.
Для решения задачи нужно уметь находить объём прямоугольного параллелепипеда и выполнять действия с величинами: умножать сантиметры и записывать результат в кубических сантиметрах. Также важно аккуратно вычислять длину и ширину дна после вырезания углов. Здесь знакомые вычисления помогают ответить на новый вопрос — какой вариант лучше.
Сравнение результатов и поиск наибольшего значения встречаются в задачах на оптимизацию. Позже переменную величину и зависимость результата от её значения можно будет изучать с помощью функций. Пока достаточно рассмотреть несколько допустимых вариантов, вычислить объёмы и выбрать наибольший.
Объём коробки равен произведению длины, ширины и высоты.
Размер вырезаемого квадрата меняет сразу все три измерения коробки.
При вычислении размеров дна учитывают вырезы с обоих концов каждой стороны.
Подходят только размеры вырезов, при которых коробку действительно можно сложить.
Чтобы найти наибольший объём среди вариантов, нужно вычислить и сравнить объёмы.
Наибольший объём зависит от размеров исходного листа.
Почему при вырезании квадратов меняется не только высота коробки?
Сторона вырезанного квадрата становится высотой коробки, когда края загибают. Но каждый квадрат отнимает часть листа и от длины, и от ширины будущего дна. Поэтому изменение размера выреза влияет сразу на все три измерения.
Почему из каждой стороны листа нужно вычесть два размера выреза?
На каждом конце стороны листа вырезают по одному квадрату. Значит, с одной стороны дна убираются два отрезка длиной, равной стороне квадрата. Поэтому длина и ширина дна уменьшаются на 2x.
Как понять, какой размер вырезаемого квадрата допустим?
Размер x должен быть положительным. Кроме того, он не должен превышать половину меньшей стороны листа: иначе одна из сторон дна станет нулевой или отрицательной. Для настоящей коробки с дном размеры должны оставаться положительными.
Можно ли определить наибольший объём, не сравнивая несколько вариантов?
Чтобы выбрать наибольший объём среди нескольких вариантов, нужно вычислить и сравнить их объёмы. Можно рассматривать допустимые значения x по очереди и записывать результаты в таблицу. По одной высоте или одному размеру выреза победителя определить нельзя.
Почему самая высокая коробка не обязательно имеет наибольший объём?
Больший вырез делает коробку выше, но одновременно уменьшает длину и ширину дна. Если дно становится слишком маленьким, объём может уменьшиться, даже если коробка высокая. Поэтому сравнивают произведение длины, ширины и высоты.
§ 3. Как получить наибольший объём?
