§ 4. О времени и о скоростях

Определения и обозначения

Время — величина, которая показывает продолжительность события, то есть сколько оно длится. Его измеряют в секундах (с), минутах (мин), часах (ч) и других единицах; 1 мин = 60 с, а 1 ч = 60 мин. Время обозначают буквой t. Это обозначение помогает записывать и сравнивать длительность разных событий.

Скорость — величина, показывающая, какой путь тело проходит за единицу времени. Например, скорость 5 км/ч означает, что за каждый час движения тело проходит 5 км, если движется с такой скоростью. Скорость обозначают буквой v. Она помогает описать, насколько быстро движется тело, и рассчитать путь или время.

Средняя скорость — это отношение всего пройденного пути ко всему времени движения. Чтобы её найти, нужно сложить пути всех участков и разделить их сумму на общее время. Если по условию учитываются остановки, их время тоже входит в общий промежуток. Это определение подходит для маршрута, на котором скорость могла меняться.

Единица скорости соединяет единицу пути и единицу времени. Запись км/ч читают «километров в час», а м/с — «метров в секунду»: она показывает, сколько километров или метров тело проходит за один час или одну секунду. Единицы пути и времени должны соответствовать друг другу. Это позволяет понимать результат и проверять вычисления.

Как это устроено

Если тело за каждую единицу времени проходит одинаковый путь, то за несколько единиц времени весь путь складывается из одинаковых частей. Поэтому путь равен скорости, умноженной на время: s = vt. Если известны путь и время, их отношение показывает путь за одну единицу времени, значит, v = s/t. А чтобы узнать, сколько времени понадобилось на путь, нужно разделить путь на скорость: t = s/v.

Скорость находят делением пути на время, потому что вопрос звучит так: «Сколько пути приходится на одну единицу времени?» Например, 12 км за 3 ч дают 12 : 3 = 4 км/ч. Если поменять делимое и делитель местами, получится 3/12, и это уже не показывает путь за час. Единица км/ч подтверждает смысл вычисления: километры делят на часы.

Чтобы переводить км/ч в м/с, заменяют километры метрами и часы секундами. Так как 1 км = 1000 м, а 1 ч = 3600 с, то 1 км/ч = 1000/3600 м/с = 1/3,6 м/с. Значит, число в км/ч делят на 3,6, а для обратного перевода число в м/с умножают на 3,6. Например, 36 км/ч = 10 м/с.

Средняя скорость описывает весь маршрут, поэтому сначала находят общий путь и общее время, а затем делят первое на второе. Скорости на отдельных участках нельзя автоматически складывать и делить на их количество: участки могут отличаться длиной и длительностью. Например, при одинаковом времени на каждом из двух участков средняя скорость будет средним арифметическим скоростей. Если времена разные, такой способ обычно не подходит.

В задаче на движение сначала выпиши, что известно и что требуется найти: путь, скорость или время. Затем выбери формулу, в которой искомая величина выражена через известные, и приведи единицы к согласованному виду. Подставь числа, выполни вычисления и укажи единицу ответа. В конце проверь, разумен ли результат: например, скорость должна иметь единицу пути, делённого на время.

Связь пути, скорости и времени

Найди в таблице величину, которую нужно вычислить, и выбери формулу из той же строки. Затем проверь, чтобы единицы данных подходили для этой формулы. Например, при скорости в км/ч время нужно выразить в часах, а путь получится в километрах.

Разбор задач

Велосипедист проехал 24 км за 2 ч. Найдите его скорость.

Нужно узнать, сколько километров велосипедист проезжал за один час. Из условия известны путь s = 24 км и время t = 2 ч, поэтому выбираем формулу скорости. Единицы уже согласованы: километры делятся на часы.

1. Запишем формулу: v = s/t.
2. Подставим данные: v = 24 км / 2 ч.
3. Вычислим: 24 : 2 = 12.

Единица результата — км/ч, так как путь был задан в километрах, а время — в часах. Велосипедист проезжал 12 км за каждый час движения. Ответ: 12 км/ч.

Автомобиль движется со скоростью 72 км/ч. Какое расстояние он проедет за 25 мин?

Искомая величина — путь, поэтому подойдёт формула s = vt. Скорость задана в километрах в час, а время — в минутах. Сначала переведём время в часы, чтобы единицы сочетались.

1. Переведём минуты в часы: 25 мин = 25/60 ч = 5/12 ч.
2. Подставим величины в формулу: s = 72 км/ч × 5/12 ч.
3. Вычислим: 72 × 5/12 = 30; единица «ч» сокращается, остаются километры.

Проверим смысл результата: за 25 минут автомобиль проехал меньше, чем за целый час, поэтому путь 30 км меньше 72 км. Единица ответа — километры, потому что скорость дана в км/ч, а время выражено в часах. Ответ: 30 км.

Путешественник прошёл 12 км за 3 ч, а затем ещё 10 км за 2 ч. Найдите среднюю скорость за весь путь.

Здесь нужно найти среднюю скорость на двух участках, а не скорость каждого участка по отдельности. Для этого складываем пути и отдельно складываем затраченное время. Все расстояния заданы в километрах, а время — в часах, значит, результат будет в км/ч.

1. Найдём общий путь: 12 км + 10 км = 22 км.
2. Найдём общее время: 3 ч + 2 ч = 5 ч.
3. Разделим общий путь на общее время: vср = 22 км / 5 ч = 4,4 км/ч.

Нельзя просто считать среднее арифметическое скоростей участков, не проверив, сколько времени занял каждый из них. Расчёт через общий путь и общее время сразу учитывает оба отрезка маршрута. Ответ: 4,4 км/ч.

Типичные ошибки

При поиске скорости иногда делят время на путь: например, вместо 24 : 2 считают 2 : 24. Так происходит, если забыть, что скорость показывает путь за единицу времени. Проверь себя: в результате должна получиться единица вроде км/ч, то есть путь делится на время. Если единицы перевёрнуты, формула выбрана неверно.

Другая ошибка — подставлять в формулу величины в несогласованных единицах, например скорость в км/ч и время в минутах без перевода. Тогда числовой результат может быть неверным, даже если действия выбраны правильно. Перед вычислением приведи время к часам или скорость к подходящей единице. Проверь, что единицы сокращаются так, как нужно для ответа.

Среднюю скорость иногда находят как обычное среднее арифметическое скоростей участков. Этот способ кажется удобным, но он не учитывает, сколько времени тело двигалось с каждой скоростью. Надёжная проверка — сложить все пройденные расстояния, сложить соответствующее время и разделить первое на второе. Арифметическое среднее применяй только тогда, когда условия движения действительно позволяют это сделать.

Ответ без единицы измерения или с неподходящей единицей неполон: число 12 само по себе не говорит, что именно найдено. Такая ошибка возникает, когда при записи ответа забывают смысл величины. Сверь единицу с вопросом: для пути нужны единицы длины, для времени — времени, для скорости — сочетание пути и времени. Также проверь, что единицы в вычислениях были согласованы.

Связь с другими темами

Чтобы решать задачи о времени и скорости, нужно уметь переводить единицы длины и времени, например километры в метры и часы в секунды. Полезно также уверенно выполнять действия с именованными числами — числами вместе с единицами измерения. Позже формулы движения пригодятся в задачах на встречное движение и движение вдогонку. Они также помогают рассуждать о совместной работе, когда величины меняются со временем.

Что запомнить

• Скорость показывает путь за единицу времени.
• Путь находят по формуле s = vt.
• Скорость находят по формуле v = s/t.
• Время находят по формуле t = s/v.
• Средняя скорость равна общему пути, делённому на общее время.
• Перед вычислениями нужно согласовать единицы пути и времени.