"Математика", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
Десятичные приближения помогают записать число с нужной точностью, даже если его десятичная запись бесконечна. Например, число √2 можно оценить сначала десятыми, затем сотыми и тысячными. Записи 1,4; 1,41; 1,414 образуют последовательность: каждое следующее приближение уточняет предыдущее. Чтобы не потерять смысл, нужно указывать разряд точности и понимать, округлено число или взято меньше настоящего.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Десятичное приближение числа — это конечная десятичная дробь, которая близка к данному числу. Например, 1,4 — приближение числа √2, потому что √2 находится между 1 и 2 и ближе к 1,4, чем к 1,3. Приближения нужны, когда точное значение неудобно записывать или оно имеет бесконечную десятичную запись.
Последовательность десятичных приближений — несколько приближений одного числа, записанных в порядке увеличения точности. Например, 1,4; 1,41; 1,414 — последовательные приближения числа √2. Такая запись показывает, как уточняется значение числа от десятых к сотым и тысячным.
Точность приближения показывает, до какого разряда записано число: до десятых, сотых, тысячных и так далее. В записи 1,414 последняя цифра стоит в разряде тысячных. Указание точности помогает понять, насколько подробно записано число и можно ли использовать его в вычислениях.
Знак ≈ означает «приблизительно равно»: например, √2 ≈ 1,414. Он нужен, чтобы не выдавать округлённую дробь за точное равенство. Чем больше верных цифр после запятой, тем обычно точнее приближение.
Чтобы получить десятичные приближения числа, начинают с простого разряда, а затем уточняют результат. Для положительного числа можно сначала определить, между какими целыми оно находится, затем — между какими десятыми, сотыми и тысячными. Каждый новый шаг сужает промежуток, в котором находится число. Поэтому последовательность приближений даёт всё более подробное представление о значении.
Если число уже записано десятичной дробью, его можно округлить до выбранного разряда. Сначала находят цифру нужного разряда, а затем смотрят на следующую цифру справа. При цифре от 0 до 4 нужную цифру оставляют прежней, при цифре от 5 до 9 увеличивают её на единицу. Все цифры правее выбранного разряда после округления убирают.
Округление не означает, что отброшенные цифры просто исчезли без последствий. Они подсказывают, в какую сторону изменить последнюю оставляемую цифру, чтобы результат был ближе к исходному числу. Например, 3,476 при округлении до сотых становится 3,48: после цифры 7 стоит цифра 6, поэтому сотые увеличиваются на единицу. А 3,472 округляется до 3,47.
Иногда вместо округления цифры просто отбрасывают. Для положительного числа такое действие даёт число, которое не больше исходного: например, при отбрасывании цифр после десятых в 2,38 получается 2,3. Округление до десятых дало бы 2,4, потому что следующая цифра равна 8. Поэтому в задаче нужно различать требования «округлить» и «отбросить цифры».
Проверить точность можно, посмотрев на разницу между числом и его приближением либо на границы соответствующего промежутка. При округлении до десятых результат 1,4 обычно получают для чисел от 1,35 до 1,45, с учётом принятого правила для точных середин. Это объясняет, почему одна и та же запись приближения может соответствовать целому промежутку значений. Если требуется большая точность, промежуток становится уже.
В таблице видно, как уточняется значение √2. Число √2 — это положительное число, квадрат которого равен 2; его десятичная запись не заканчивается и не повторяется одним и тем же периодом. Поэтому для вычислений берут конечные приближения, выбирая нужный разряд.
| Разряд точности | Приближение √2 | Что показывает запись |
|---|---|---|
| До десятых | 1,4 | Одна цифра после запятой |
| До сотых | 1,41 | Две цифры после запятой |
| До тысячных | 1,414 | Три цифры после запятой |
Сравнивайте строки сверху вниз: число знаков после запятой увеличивается, а значение уточняется. Для быстрого счёта часто достаточно приближения до десятых или сотых. Если условие требует конкретной точности, выбирайте строку с нужным разрядом.
Задача. Число 7,386 нужно округлить до десятых, сотых и тысячных. Запишите полученные приближения и объясните, почему они различаются. Важно не просто убрать лишние цифры, а каждый раз проверять следующую цифру справа от разряда округления.
Ответ: до десятых — 7,4; до сотых — 7,39; до тысячных — 7,386. Обратите внимание: при округлении до десятых число получилось больше исходного, а при округлении до сотых — тоже немного больше. Это допустимо: округлённое значение не обязано быть меньше исходного.
Путают округление с отбрасыванием цифр: из 4,68 получают 4,6, хотя при округлении до десятых верно 4,7. Ошибку допускают, когда смотрят только на нужный разряд и забывают о следующей цифре. Проверьте себя вопросом: какая цифра стоит сразу справа от разряда округления?
Считают, что знак ≈ можно заменить знаком =. Так возникает неверное впечатление, будто конечная дробь точно равна числу с бесконечной записью. Сверьте смысл записи: если число округлено или приближено, пишите ≈, а знак = используйте для точного равенства.
Неправильно определяют разряд точности и оставляют не то количество цифр. Например, округление до сотых должно дать две цифры после запятой, а не одну. Чтобы проверить ответ, посчитайте цифры справа от запятой и назовите последний разряд.
Думают, что приближение обязательно меньше исходного числа. Это верно при отбрасывании цифр у положительного числа, но не всегда верно при округлении. Проверьте действие: цифры отбросили или округлили по следующей цифре?
Десятичные приближения опираются на разряды десятичной дроби: десятые, сотые, тысячные. Поэтому умение читать разрядный состав числа помогает верно округлять его и оценивать точность. Приближения также нужны в задачах на измерения, где результат зависит от точности прибора и обычно не записывается бесконечным числом цифр.
Эта тема связана с вычислениями с десятичными дробями: приближённые значения можно подставлять в действия, если точного значения нет или оно не требуется. Важно помнить, что округление промежуточного результата может повлиять на итог. Поэтому в длинных вычислениях часто сохраняют больше цифр, а округляют только ответ.
Десятичное приближение — конечная дробь, близкая к исходному числу.
Последовательность приближений уточняет число: от десятых к сотым, тысячным и дальше.
При округлении смотрят на цифру сразу справа от нужного разряда: 0–4 оставляют цифру, 5–9 увеличивают её на единицу.
Знак ≈ означает «приблизительно равно», а знак = — точное равенство.
Отбрасывание цифр и округление — разные действия; выполняй именно то, которое требуется в условии.
§ 2. Последовательности десятичных приближений
