"Математика (изд. "ДРОФА")", Муравин Г.К., Муравина О.В.
Чтобы разделить дробь на натуральное число, оставляют прежний числитель, а знаменатель умножают на делитель. Так действие деления можно выполнить и записать в виде новой дроби. Правило помогает делить величины на равные части, например распределять сок или длину поровну. Основное свойство дроби объясняет, почему некоторые дроби выглядят по-разному, но обозначают одно и то же число. После вычисления результат можно проверить умножением и, если возможно, сократить.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Дробь — это запись вида a/b, где a — числитель, а b — знаменатель. Знаменатель показывает, на сколько равных частей разделили целое, а числитель — сколько таких частей взяли. Черта между ними означает деление числителя на знаменатель. Эти обозначения помогают понять, какую часть целого описывает дробь.
Деление дроби на натуральное число — это действие, при котором дробь делят на равные части; его записывают, например, так: a/b : n. Здесь n — натуральное число, на которое делят дробь, и оно не должно быть нулём. Такая запись нужна, когда количество, выраженное дробью, распределяют поровну. Например, можно разделить часть литра сока между несколькими людьми.
Основное свойство дроби гласит: если умножить или разделить её числитель и знаменатель на одно и то же ненулевое число, значение дроби не изменится. Например, 1/2 и 2/4 обозначают одну и ту же часть целого. Это свойство позволяет записывать дробь по-разному, получать нужный знаменатель и сокращать дроби. Полученные таким способом дроби называют равными.
Деление дроби на число можно представить как деление уже взятой части целого на несколько равных частей. Например, если половину пирога разделить на две равные части, каждая часть будет меньше половины. Поэтому при делении на число больше единицы результат должен стать меньше исходной дроби. Этот смысл помогает проверить, не перепутано ли действие.
Пусть целое разделили на b равных частей, а взяли a из них. Если каждую из этих долей разделить ещё на n частей, каждая первоначальная доля превратится в n меньших долей. Всего таких долей будет b · n, а взятых частей по-прежнему соответствует a групп. Поэтому a/b : n = a/(b · n): числитель остаётся прежним, а знаменатель умножается на делитель.
Запись a/b : n = a/(b · n) показывает равносильный способ выполнить действие: вместо знака деления знаменатель умножают на натуральный делитель. Это не то же самое, что умножить дробь на n: умножение увеличило бы её, а деление на n, если n больше единицы, уменьшает. Например, 2/7 : 3 = 2/21. Проверка смыслом: двадцать первая часть меньше седьмой, значит результат стал меньше.
Основное свойство помогает увидеть, как соотносятся дроби до и после преобразования. Например, чтобы получить знаменатель 12 у дроби 1/3, умножим и числитель, и знаменатель на 4: 1/3 = 4/12. При делении дроби 1/3 на 4 получаем 1/12: знаменатель увеличился в четыре раза, а числитель не изменился, потому что исходную долю разделили на четыре части. Так свойство равных дробей помогает понимать изменение размера доли.
Правило применяют, когда делитель — натуральное число, отличное от нуля: деление на ноль не определено. Полученную дробь можно оставить в таком виде, если числитель и знаменатель нельзя разделить на одно и то же число. Если можно, дробь сокращают по основному свойству, и её значение при этом сохраняется. Например, 6/18 можно сократить на 6 и получить 1/3.
В таблице собраны правило, связь с основным свойством и способы проверить результат. Начните со строки о делении, а затем сравните вычисление с проверкой умножением. Последняя строка напоминает, что сокращение меняет запись, но не значение дроби.
| Что рассматриваем | Запись или правило | Пример |
|---|---|---|
| Деление дроби на натуральное число | a/b : n = a/(b · n), n ≠ 0 | 3/5 : 2 = 3/10 |
| Изменение числителя и знаменателя | Числитель прежний, знаменатель умножается на делитель | 7/12 : 3 = 7/36 |
| Равная дробь по основному свойству | Умножаем или делим числитель и знаменатель на одно и то же ненулевое число | 1/3 = 4/12 |
| Проверка результата умножением | Частное умножаем на делитель | 3/10 · 2 = 3/5 |
| Сокращение полученной дроби | Делим числитель и знаменатель на общий делитель | 6/18 = 1/3 |
В каждой задаче сначала определим, что именно делят и на сколько равных частей. Затем применим правило: делитель умножает знаменатель, а числитель остаётся прежним. В конце проверим, разумен ли результат по величине, и при необходимости сократим дробь.
Ответ: 3/10.
Ответ: 7/36.
Ответ: на каждую порцию приходится 5/24 л сока.
Умножают числитель на делитель вместо знаменателя. Так легко спутать деление с умножением дроби на натуральное число. Проверьте смысл: если делите на число больше единицы, результат должен стать меньше, а увеличение числителя обычно делает дробь больше.
Меняют только числитель или делят числитель и знаменатель на делитель. Так неверно применяют основное свойство: оно требует одинаково умножить или разделить обе части дроби, а при делении на натуральное число действует отдельное правило. Проверьте запись по схеме a/b : n = a/(b · n).
Записывают деление дроби как умножение на то же число. Это происходит, если не замечают, что деление на число больше единицы уменьшает величину. Сравните результат с исходной дробью и проверьте его умножением на делитель.
Забывают, что делитель не может равняться нулю. Возможно, ученик воспринимает ноль как обычное натуральное число для действия, но деление на ноль не определено. Перед вычислением проверьте делитель: он должен быть отличен от нуля.
Чтобы освоить это правило, нужно знать, что показывают числитель и знаменатель, и уметь умножать натуральные числа. Оно пригодится, когда величину, записанную дробью, нужно разделить на равные части, а также при преобразовании дробей. Тема связана с основным свойством и сокращением дробей: эти умения помогают записывать результат удобнее. Позже они понадобятся при изучении других действий с обыкновенными дробями.
Почему при делении дроби на число умножают знаменатель?
Знаменатель показывает, на сколько равных частей поделено целое. Если каждую такую часть разделить ещё на n частей, всего частей станет в n раз больше, поэтому знаменатель умножают на n, а размер каждой части уменьшается.
Можно ли делить числитель дроби на натуральное число?
Не по правилу деления дроби на натуральное число: числитель оставляют прежним, а знаменатель умножают на делитель. Если числитель делится на это число, иногда можно получить равную дробь другим преобразованием, но это уже не само правило деления.
Как проверить результат деления дроби?
Умножьте полученную дробь на число, на которое делили. Должна получиться исходная дробь: например, (3/10) · 2 = 3/5.
Когда полученную дробь нужно сокращать?
Сокращать дробь можно, если числитель и знаменатель делятся на одно и то же натуральное число, большее нуля. Это не обязательно для самого вычисления, но сокращённая запись обычно удобнее.
Почему делить на ноль нельзя?
Деление на число означает, что нужно найти число частей или величину каждой части так, чтобы умножение на делитель вернуло исходное значение. При умножении на ноль всегда получается ноль, поэтому для ненулевой дроби такого результата нет. Деление на ноль не определено.
Деление дроби на натуральное число. Основное свойство дроби
