Сравнение дробей

Определения и обозначения

Сравнить дроби — значит определить, какая из них больше, какая меньше или равна ли она другой. Для записи используют знаки >, < и =: например, ⅓ < ½. Сравнение помогает установить порядок дробей и выбрать нужную величину в задаче. Равные дроби обозначают одно и то же количество, хотя их числители и знаменатели могут различаться.

У дробей с одинаковыми знаменателями знаменатели показывают, что целые разделены на одинаковое число равных частей. Поэтому больше та дробь, у которой числитель больше: в ней взяли больше одинаковых частей. Это правило позволяет сравнить такие дроби, не изображая каждую отдельно. Например, 5/8 > 3/8.

У дробей с одинаковыми числителями одинаково число взятых частей, но сами части могут быть разного размера. Больше дробь с меньшим знаменателем, потому что целое разделили на меньшее число частей. Это правило помогает сравнивать доли, например, 4/7 и 4/9. Важно не перепутать его с правилом для одинаковых знаменателей.

Общий знаменатель — это один и тот же знаменатель, к которому можно привести сравниваемые дроби. Привести дробь к общему знаменателю значит записать равную ей дробь с таким знаменателем. Тогда части у двух дробей будут одинакового размера, и сравнение станет простым. Для этого числитель и знаменатель каждой дроби умножают на одно и то же ненулевое число.

Как это устроено

Представь два одинаковых пирога, каждый из которых разрезали на 8 равных частей. Если взять от одного 3 части, а от другого 5, то кусочки будут одинаковыми, потому что оба пирога разделены на 8 частей. Пять таких кусочков больше трёх таких же кусочков. Поэтому при одинаковых знаменателях сравнивают числители: больший числитель означает больше взятых равных долей.

Теперь сравним 4/7 и 4/9. В обоих случаях взяли по 4 части, но один пирог разделили на 7 частей, а другой — на 9. При делении на 7 каждая часть получается крупнее, чем при делении на 9. Значит, четыре крупных доли составляют больше, чем четыре мелких, и 4/7 > 4/9. Здесь важно смотреть не только на число взятых частей, но и на их размер.

Если знаменатели разные, доли имеют разный размер, поэтому напрямую сравнить числители нельзя. Чтобы части стали одинаковыми, дроби приводят к общему знаменателю. Например, знаменатели 6 и 9 можно заменить общим знаменателем 18: для этого первую дробь умножают сверху и снизу на 3, а вторую — на 2. Числитель и знаменатель умножают на одно и то же число, иначе значение дроби изменится.

После приведения к общему знаменателю обе дроби описывают одинаковые по размеру доли. Теперь можно сравнить, сколько таких долей взято: достаточно сравнить числители. Например, если получились дроби 15/18 и 14/18, то 15/18 > 14/18, а значит, исходная дробь, равная 15/18, больше дроби, равной 14/18. Общий знаменатель не обязан быть наименьшим, но с удобным общим знаменателем считать проще.

Чтобы сравнить дробь с единицей, вспомни: единица — это целое. Если числитель меньше знаменателя, взяли меньше частей, чем нужно для целого, поэтому дробь меньше единицы. Если числитель и знаменатель равны, взяли все части и получили целое; если числитель больше, частей взяли больше, чем составляет одно целое. Например, 5/6 < 1, 6/6 = 1, а 7/6 > 1.

Способы сравнения дробей

Сначала посмотри, одинаковы ли знаменатели или числители: в этих случаях можно сразу применить соответствующее правило. Если знаменатели разные, найди общий знаменатель и только после этого сравни числители. Для сравнения с единицей достаточно сопоставить числитель и знаменатель одной дроби.

Разбор задач

Сравнить 3/8 и 5/8. Начнём с проверки знаменателей: они одинаковые, значит, дроби состоят из долей одного размера. Не нужно искать общий знаменатель, потому что он уже есть. Сравним числители и запишем знак между дробями.

1. Знаменатели равны: 8 и 8.
2. Сравниваем числители: 3 < 5.
3. Записываем результат: 3/8 < 5/8.

Ответ: 3/8 меньше 5/8. Так как восьмые части одинаковы, пять таких частей больше трёх таких же частей.

Сравнить 4/7 и 4/9. Числители одинаковые, поэтому в обеих дробях взяли по четыре части. Но части не равны по размеру: при делении целого на 7 частей каждая доля крупнее, чем при делении на 9. Поэтому дробь с меньшим знаменателем будет большей.

1. Числители равны: 4 и 4.
2. Сравниваем знаменатели: 7 < 9, значит, седьмые доли крупнее девятых.
3. Записываем результат: 4/7 > 4/9.

Ответ: 4/7 больше 4/9. Проверка здравым смыслом: одинаковое число крупных частей должно составлять больше, чем такое же число мелких частей.

Сравнить 5/6 и 7/9. Здесь числители и знаменатели различаются, так что сравнение только числителей не подойдёт. Приведём обе дроби к знаменателю 18: он делится и на 6, и на 9. Умножаем числитель и знаменатель каждой дроби на одно и то же число, сохраняя её значение.

1. Для 5/6 умножаем числитель и знаменатель на 3: 5/6 = 15/18.
2. Для 7/9 умножаем числитель и знаменатель на 2: 7/9 = 14/18.
3. У дробей одинаковые знаменатели, сравниваем числители: 15 > 14.
4. Переносим результат на исходные дроби: 5/6 > 7/9.

Ответ: 5/6 больше 7/9. Убедиться в выборе можно так: обе дроби теперь выражены в восемнадцатых долях, и пятнадцать таких долей больше четырнадцати.

Типичные ошибки

При одинаковых знаменателях иногда сравнивают сами знаменатели, хотя они уже равны. Например, в 3/8 и 5/8 важно сопоставить 3 и 5, а не восьмёрки. Ошибка возникает, если смотреть на дробь целиком и не помнить, за что отвечает каждая её часть. Проверь себя: если знаменатели равны, задай вопрос, где взяли больше одинаковых долей.

При одинаковых числителях можно ошибочно решить, что больше дробь с большим знаменателем. Кажется, что большое число в записи всегда означает большую дробь, но знаменатель показывает число частей, на которые разделили целое. Чем больше частей, тем меньше каждая из них. Для проверки представь одинаковое количество долей: четверти крупнее, чем пятые.

Иногда при приведении к общему знаменателю умножают только знаменатель. Так меняется размер дроби: например, 1/3 и 1/6 — не равные дроби. Чтобы получить равную дробь, числитель и знаменатель нужно умножить на одно и то же ненулевое число. Перед сравнением проверь, что множитель применён к обеим частям дроби.

Ещё одна ошибка — сравнивать дроби с разными знаменателями только по числителям. Например, из чисел 5 и 7 нельзя сразу заключить, какая из дробей 5/6 и 7/9 больше: доли у них разного размера. Приведи дроби к общему знаменателю, а затем сравни числители. Если знаменатели после преобразования одинаковы, правило уже можно применять.

Связь с другими темами

Чтобы сравнивать дроби, нужно знать, что показывает числитель и знаменатель, и понимать, как дробь изображают на координатном луче. На луче большее число расположено правее меньшего, поэтому рисунок помогает проверить результат сравнения. Сравнение понадобится, когда нужно расположить дроби по порядку или выбрать величину в задаче. Оно также готовит к сложению и вычитанию дробей с разными знаменателями: там тоже приводят дроби к общему знаменателю.

Что запомнить

• При одинаковых знаменателях больше дробь с большим числителем.
• При одинаковых числителях больше дробь с меньшим знаменателем.
• Дроби с разными знаменателями можно сравнить, приведя их к общему знаменателю.
• Чтобы получить равную дробь, числитель и знаменатель умножают на одно и то же ненулевое число.
• Дробь меньше единицы, если её числитель меньше знаменателя.
• Дробь равна единице, если её числитель равен знаменателю.
• Дробь больше единицы, если её числитель больше знаменателя.