Натуральные числа и нуль

Определения и обозначения

Натуральные числа — это числа, которые используют при счёте предметов: 1, 2, 3 и так далее. Например, так можно посчитать яблоки в корзине или учеников в классе. Эти числа помогают сообщить, сколько предметов мы насчитали. Счёт начинается с единицы.

Нуль — число, обозначающее отсутствие предметов; в принятом здесь определении нуль не относят к натуральным числам. Если в коробке не осталось конфет, их количество можно записать числом 0. Нуль нужен, чтобы показать, что предметов нет. При этом он также участвует в записи других чисел.

Натуральный ряд — это последовательность натуральных чисел, расположенных по возрастанию: 1, 2, 3, 4 и так далее. Возрастание означает, что каждое следующее число больше предыдущего. Ряд помогает находить числа по порядку и замечать, какое число идёт перед другим. Он не заканчивается: после каждого числа можно назвать следующее.

Множество натуральных чисел — это все натуральные числа; его обозначают буквой N. Слово «множество» означает совокупность объектов, в данном случае чисел. Запись N используют коротко, когда говорят обо всех числах 1, 2, 3 и так далее. Нуль в это множество не входит.

Как это устроено

Натуральные числа появились из практической необходимости считать предметы. Когда нужно узнать, сколько камней лежит на столе или сколько шагов пройдено, предметы считают по одному и называют результат. Если предметов нет, результатом становится нуль: без отдельного обозначения было бы трудно сообщить об отсутствии. Поэтому числа для счёта и нуль связаны с разными ситуациями.

Каждое натуральное число, кроме единицы, получается, если к предыдущему прибавить единицу: после 6 идёт 7, потому что 6 + 1 = 7. Так устроен счёт предметов по одному: добавили один предмет — количество стало на единицу больше. После любого натурального числа можно назвать следующее, поэтому ряд продолжается бесконечно. У единицы предыдущего натурального числа нет, ведь она открывает этот ряд.

Натуральные числа удобно отмечать на координатном луче. Это луч с началом и делениями на одинаковом расстоянии друг от друга; числам соответствуют точки на этих делениях. Если считать шаги от начала луча, каждый следующий шаг ведёт вправо и обозначает число на единицу больше. Поэтому точка большего числа всегда находится правее точки меньшего.

В натуральном ряду соседние числа отличаются ровно на единицу: между 4 и 5 нельзя вставить другое натуральное число, потому что после 4 сразу идёт 5. Нуль отмечают перед единицей, поэтому он меньше любого натурального числа. Это согласуется с его смыслом: отсутствие предметов меньше, чем одна вещь, две вещи или любое большее количество. Но нуль не становится первым натуральным числом — ряд по-прежнему начинается с 1.

Для записи чисел используют цифры — знаки от 0 до 9. Одна цифра может записывать число, а несколько цифр вместе образуют запись многозначного числа. Место цифры задаёт, сколько единиц она обозначает: в числе 250 цифра 2 означает две сотни, а 5 — пять десятков. Поэтому нельзя судить о числе только по одной цифре: важны и её значение, и место в записи.

Натуральные числа и нуль

Сначала найдите в таблице нужное понятие, затем посмотрите на его обозначение и смысл. Примеры показывают, как применить определение в простой ситуации. Если нужно сравнить числа, помните: большее число на координатном луче находится правее.

Разбор задач

Задача 1. Из чисел 0, 1, 5, 12, 20, 100 выпишите натуральные числа и отдельно укажите нуль. Нужно не перепутать число для счёта и обозначение отсутствия предметов. Проверим каждое число по определению.

1. Натуральные числа начинаются с 1, поэтому 0 в их список не включаем.
2. Числа 1, 5, 12, 20 и 100 являются натуральными: каждое из них больше нуля и встречается в натуральном ряду.
3. Число 0 записываем отдельно, поскольку оно обозначает отсутствие предметов.

Ответ: натуральные числа — 1, 5, 12, 20, 100; нуль — 0.

Задача 2. Расположите числа 0, 7, 3, 10, 1 в порядке возрастания и назовите предыдущее и следующее число для 7. Возрастание значит, что каждое число в списке должно быть больше предыдущего. Для соседей числа 7 посмотрим на натуральный ряд.

1. Нуль меньше любого натурального числа, поэтому ставим его первым.
2. Остальные числа располагаем от меньшего к большему: после 0 идут 1, 3, 7 и 10.
3. В натуральном ряду перед 7 стоит 6, а после 7 — 8, потому что 6 + 1 = 7 и 7 + 1 = 8.

Ответ: 0, 1, 3, 7, 10; предыдущее число для 7 — 6, следующее — 8.

Задача 3. Запишите все натуральные числа, которые больше 248 и меньше 253, а затем представьте число 250 в виде суммы разрядных слагаемых. Сначала найдём числа строго между границами: сами 248 и 253 не подходят. Потом разложим 250 по значениям цифр.

1. Идём по натуральному ряду после 248: получаем 249, 250, 251, 252. Следующее число 253 уже не меньше границы, поэтому его не включаем.
2. В числе 250 цифра 2 стоит в разряде сотен и означает 200, цифра 5 — в разряде десятков и означает 50.
3. Цифра 0 означает ноль единиц, поэтому отдельное слагаемое 0 можно не записывать.

Ответ: 249, 250, 251, 252; 250 = 200 + 50.

Типичные ошибки

Ошибка: считать нуль натуральным числом. Так думают, потому что нуль встречается при счёте и в записях чисел. Но по принятому определению натуральный ряд начинается с единицы, а нуль лишь обозначает отсутствие предметов. Проверьте себя: если требуется выписать натуральные числа, исключите 0 и укажите его отдельно.

Ошибка: называть цифры натуральными числами. Путаница появляется потому, что цифрами записывают числа, и эти слова часто звучат рядом. Однако цифра — знак, а число — то, что этот знак или их сочетание обозначает. Проверьте себя: 7 — и цифра, и запись числа семь, а 25 — число, записанное двумя цифрами.

Ошибка: искать предыдущее натуральное число у единицы. В привычном счёте часто хочется поставить перед 1 нуль, но нуль не относится к натуральным числам. Значит, в натуральном ряду у единицы нет предыдущего числа. Проверьте себя: начертите ряд с 1 и продолжите его вправо — числа перед началом ряда не появятся.

Ошибка: сравнивать многозначные числа только по последней цифре. Последняя цифра показывает единицы, но не говорит, сколько в числе десятков, сотен и других разрядов. Сначала сравните количество цифр; если оно одинаковое, сравнивайте цифры слева направо. Проверьте себя на числах 124 и 98: у 124 цифр больше, поэтому оно больше, хотя его последняя цифра меньше.

Связь с другими темами

До этой темы нужно уметь считать предметы, узнавать цифры и записывать числа, а также понимать слова «больше», «меньше» и «равно». Эти знания позволяют читать натуральный ряд и сравнивать его числа. Дальше натуральные числа понадобятся при изучении арифметических действий, координатного луча, округления и решении текстовых задач. Нуль тоже встречается в вычислениях: он может быть результатом действия и занимает нужное место в записи многозначного числа.

Что запомнить

• Натуральные числа — это 1, 2, 3 и так далее.
• Нуль не является натуральным числом в принятом в учебнике определении.
• Натуральный ряд начинается с единицы.
• После каждого натурального числа следует число, большее на единицу.
• На координатном луче большее число расположено правее меньшего.
• Цифра и число — не одно и то же.
• Нуль обозначает отсутствие предметов и участвует в записи чисел.