Среднее арифметическое чисел

Определения и обозначения

Среднее арифметическое — это число, равное сумме нескольких чисел, делённой на их количество. Например, для чисел 2, 4 и 6 сумма равна 12, а количество чисел — 3, поэтому среднее арифметическое равно 12 : 3 = 4. Оно помогает заменить весь набор одним числом, которое показывает его общий уровень. Так удобно сравнивать результаты, не перечисляя их по одному.

Среднее арифметическое нескольких чисел находят, учитывая каждое число набора, в том числе повторяющиеся значения. Если в наборе записаны 3, 3 и 6, то складывают именно три числа: 3 + 3 + 6. Число 3 здесь учитывается дважды, потому что оно встречается два раза. Это нужно, чтобы при подсчёте сохранялось влияние каждого результата.

Среднее арифметическое величин находят для величин одного вида, записанных в одинаковых единицах измерения. Например, можно усреднить длины, если все они выражены в сантиметрах, или массу, если она везде указана в килограммах. Если единицы разные, сначала выполняют перевод, а уже потом складывают. Иначе слагаемые нельзя правильно сравнить и объединить.

Как это устроено

Представь, что у трёх детей вместе 12 яблок и они делят их поровну. Каждый получит 12 : 3 = 4 яблока. Число 4 и будет средним количеством яблок на одного ребёнка, потому что общую сумму распределили между тремя поровну. Поэтому среднее арифметическое находят делением суммы на число участников набора.

Из этого примера получается правило для любых чисел: сначала сложи их, а потом раздели сумму на количество чисел. Сложение собирает общий результат, а деление показывает, какая равная доля приходится на одно число набора. Например, если измерения были сделаны пять раз, делить сумму нужно на 5. Так каждое измерение получает одинаковый вклад в итоговое среднее.

Для чисел a₁, a₂, …, aₙ формула записывается так: (a₁ + a₂ + … + aₙ) : n. Буквы a₁, a₂ и следующие обозначают числа набора, а многоточие показывает, что чисел может быть несколько. Буква n обозначает их общее количество, а двоеточие — действие деления. Сначала выполняют сложение в скобках, затем полученную сумму делят на n.

Среднее арифметическое не обязательно совпадает с одним из чисел набора, потому что оно получается после сложения и деления. Например, у чисел 1 и 2 среднее равно 3 : 2 = 1,5, а такого числа в наборе нет. Оно может быть дробным, даже если все исходные числа целые. Это не ошибка: дробь показывает точный результат равного распределения суммы.

То же правило применяют к величинам, если они одного вида: находят сумму и делят её на количество величин. Но складывать можно только значения в одинаковых единицах, поэтому сначала нужно перевести их в одну меру. Например, 1 м и 50 см удобно записать как 100 см и 50 см. Тогда средняя длина равна (100 + 50) : 2 = 75 см.

Как найти среднее арифметическое

Проверь каждую строку: сначала найди сумму чисел, затем посчитай все числа в наборе и раздели сумму на это количество. В строке с двумя двойками число 2 входит в сумму дважды, а количество чисел равно четырём. Сравнивая строки, обрати внимание, что одинаковая или близкая сумма не всегда даёт одинаковое среднее: важно и количество чисел.

Разбор задач

Найди среднее арифметическое чисел 6, 8 и 10.

Нужно получить одно число, которое показывает равное распределение суммы трёх чисел. Для этого сначала найдём общую сумму. Затем разделим её на количество чисел — их три.

1. Сложим числа: 6 + 8 + 10 = 24.
2. Посчитаем числа в наборе: их 3.
3. Разделим сумму на количество: 24 : 3 = 8.

Ответ: среднее арифметическое равно 8.

За четыре дня ученик прочитал 12, 15, 9 и 16 страниц. Сколько страниц в среднем он читал за день?

Количество прочитанных страниц за каждый день — отдельное число набора. Чтобы найти средний дневной результат, представим, что все прочитанные страницы распределили поровну между четырьмя днями. Поэтому сложим результаты всех дней и разделим на 4.

1. Найдём число всех прочитанных страниц: 12 + 15 + 9 + 16 = 52.
2. В наборе четыре дневных результата, значит, делим сумму на 4.
3. Выполним деление: 52 : 4 = 13.

Ответ: в среднем ученик читал 13 страниц за день.

Среднее арифметическое трёх чисел равно 7. Два числа — 5 и 8. Найди третье число.

Среднее равно 7, а чисел всего 3, значит, их общая сумма в три раза больше среднего. Сначала восстановим эту сумму, а затем уберём из неё два известных числа. Оставшееся значение и будет третьим числом.

1. Найдём сумму трёх чисел: 7 · 3 = 21.
2. Сложим известные числа: 5 + 8 = 13.
3. Вычтем известную сумму из общей: 21 − 13 = 8.

Ответ: третье число равно 8. Проверка: (5 + 8 + 8) : 3 = 21 : 3 = 7.

Типичные ошибки

Ошибка — делить сумму на число разных значений, а не на количество всех чисел. Так поступают, если принимают повторяющиеся числа за одно, хотя они занимают отдельные места в наборе. Например, в записи 2, 2, 5, 7 всего четыре числа, а не три. Для проверки пересчитай все слагаемые, не пропуская одинаковые.

Иногда одно из чисел не включают в сумму, например случайно переписывают не все данные задачи. Тогда среднее получается неверным, даже если деление выполнено правильно. Перед вычислением отметь каждое число и убедись, что оно попало в сумму ровно один раз на каждое появление в наборе. После сложения полезно сравнить количество слагаемых с условием.

Нельзя складывать величины, записанные в разных единицах, как будто числа обозначают одну меру. Например, запись 1 м + 50 см нельзя считать как 1 + 50, потому что метры и сантиметры имеют разный размер. Сначала переведи значения в одинаковые единицы, например 100 см + 50 см. Проверка простая: у всех слагаемых перед вычислением должна быть одна и та же единица измерения.

Среднее не обязано быть одним из исходных чисел, поэтому дробный результат сам по себе не означает ошибку. Иногда ожидают увидеть в ответе одно из значений набора и пытаются изменить вычисление. Например, среднее чисел 1 и 2 равно 1,5. Проверь результат суммой и делением на количество: если оба действия верны, среднее найдено правильно.

Связь с другими темами

Чтобы находить среднее арифметическое, нужно уметь складывать числа, делить сумму на натуральное число и считать количество слагаемых. Эти навыки уже встречаются при обычных вычислениях, а здесь они объединяются в одно правило. Среднее используют при обработке результатов измерений и подсчёте средних баллов. Оно также помогает сравнивать наборы данных, например результаты за разные дни.

Идея усреднения встречается и дальше, в том числе при изучении средней скорости. Однако для каждой величины способ нахождения среднего нужно понимать по смыслу, а не применять механически. В задачах на скорости важно внимательно читать условие и знать, какие данные сравнивают. Навык находить среднее арифметическое даёт основу для такого дальнейшего изучения.

Что запомнить

• Чтобы найти среднее арифметическое, сложи все числа.
• Раздели сумму на количество чисел.
• Повторяющиеся числа учитываются столько раз, сколько встречаются.
• Среднее арифметическое может не совпадать ни с одним числом набора.
• Величины перед усреднением нужно выразить в одинаковых единицах.