Процентные расчёты

Определения и обозначения

Процент — одна сотая часть целого; его обозначают знаком %. Например, 1% от полоски — это одна из ста одинаковых частей. Это обозначение удобно, когда нужно сравнивать части разных целых по одной мерке.

Процент от числа — одна или несколько сотых данного числа. Например, 5% от 200 — это пять сотых от 200, а не число 5 само по себе. Такое действие нужно, чтобы найти часть целого: например, сумму скидки от цены.

Число по его проценту — целое, которое требуется восстановить, если известна его часть и известно, сколько процентов она составляет. Если 20% равны 8, нужно выяснить, какое число целиком приняли за 100%. Это помогает решать задачи, где дана часть величины, а всё количество неизвестно.

Процентное отношение показывает, сколько процентов составляет одна величина от другой. Для этого сравниваемую часть соотносят с целым, которое принимают за 100%. Так можно, например, определить, какую часть класса составляют участники секции.

Как это устроено

Процент связан с дробью со знаменателем 100, потому что целое мысленно делят на сто равных частей. Одна из этих частей записывается как 1/100 и называется одним процентом. Поэтому 1% = 1/100 = 0,01: дробь и десятичная запись обозначают одну и ту же величину. Знаменатель 100 помогает не перепутать сотую часть с десятой.

Чтобы перейти от процентов к десятичной дроби, число процентов делят на 100. Деление на 100 сдвигает запятую на два разряда влево: 24% = 0,24, а 5% = 0,05. Обратно десятичную дробь умножают на 100 и приписывают знак процента: 0,7 = 70%. Это удобно, потому что десятичную дробь можно сразу использовать в вычислениях.

Процент от числа находят умножением, потому что сначала выражают нужную часть целого дробью, а затем берут эту долю от числа. Например, 15% превращаются в 0,15, и 0,15 умножают на исходное число. Если искать 15% от 200, вычисление будет таким: 0,15 · 200. Умножение на дробь и означает взятие соответствующей части.

Когда часть целого уже известна, а целое неизвестно, действие меняется на обратное. Известная часть получилась бы при умножении целого на дробь, соответствующую проценту, поэтому целое находят делением части на эту дробь. Например, если 12% равны 36, то 36 делят на 0,12. Результат должен быть больше известной части, ведь часть составляет лишь долю целого.

Процентное отношение находят в два шага: сначала сравниваемую величину делят на ту, с которой её сравнивают, затем результат переводят в проценты. Если отношение равно 0,4, оно означает четыре десятых целого, то есть 40%. Порядок деления важен: часть ставят первой, целое — вторым. Если разделить целое на часть, получится ответ на другой вопрос.

Основные виды процентных расчётов

Сначала прочитай первый столбец и реши, что именно спрашивают: часть, целое или процентное отношение. Затем проверь, какие данные из второго столбца есть в условии, и выбери действие. Особенно внимательно определи целое: для процентного отношения оно стоит после знака деления.

Разбор задач

Задача 1. Найти 15% от 200. Нужно найти часть числа 200, поэтому сначала заменяем проценты десятичной дробью, а затем умножаем на 200. Проверим, что ответ меньше 200: искомая часть составляет лишь 15 сотых целого.

1. Переводим проценты в дробь: 15% = 0,15.
2. Умножаем число на полученную дробь: 200 · 0,15 = 30.

Ответ: 30. Значит, пятнадцать сотых от 200 равны 30. Проверка делением показывает, что 30 : 200 = 0,15, то есть 15%.

Задача 2. 12% числа равны 36. Найти число. Здесь 36 — известная часть, а исходное целое неизвестно. Если представить 12% дробью, станет понятно, на какую долю нужно разделить 36, чтобы получить всё число.

1. Записываем процент десятичной дробью: 12% = 0,12.
2. Делим известную часть на эту дробь: 36 : 0,12 = 300.

Ответ: 300. Проверим результат: 12% от 300 равны 0,12 · 300 = 36. Проверка подтверждает, что найдено исходное целое.

Задача 3. В классе 25 учеников, из них 10 занимаются в спортивной секции. Какой процент класса это составляет? Целое здесь — весь класс, то есть 25 учеников; занимающиеся секцией — часть. Сначала найдём, какую долю от целого составляют 10 учеников, и лишь после этого выразим долю в процентах.

1. Делим количество занимающихся на число всех учеников: 10 : 25 = 0,4.
2. Переводим десятичную дробь в проценты: 0,4 · 100% = 40%.

Ответ: 40% класса. Проверка: 40% от 25 — это 0,4 · 25 = 10 учеников. Значит, отношение частей и целого выбрано правильно.

Типичные ошибки

• Иногда 1% принимают за одну десятую. Так происходит, если забыть, что слово «процент» означает сотую часть. Для проверки запиши 1% дробью: это 1/100 = 0,01, а десятая часть — 10%.

• При нахождении процента от числа могут разделить исходное число на число процентов. Ошибка возникает из-за путаницы между разными видами задач. Сначала переведи процент в десятичную дробь и умножь на число; ответ при проценте меньше 100% должен быть меньше целого.

• Чтобы восстановить целое, иногда умножают известную часть на процентную дробь. Это действие снова уменьшает часть, а не возвращает исходное число. Нужно разделить известную часть на дробь процента, а затем проверить ответ, найдя от него указанный процент.

• В процентном отношении можно поменять местами часть и целое. Обычно это случается, когда не решено, с чем сравнивают величину. Перед делением назови целое — оно будет соответствовать 100% — и запиши отношение «часть : целое»; ответ проверь, умножив долю на целое.

Связь с другими темами

Для работы с процентами пригодятся обыкновенные и десятичные дроби: процент можно записать дробью со знаменателем 100 или десятичной дробью. Также важно уметь находить долю числа, потому что процент — это доля со знаменателем 100. Эти знания помогают понять, почему для поиска части умножают, а для восстановления целого делят.

Процентные расчёты встречаются в повседневных задачах. С их помощью находят скидку от цены, сравнивают результаты измерений, вычисляют долю учеников с нужной оценкой или участников команды. В каждом случае сначала определяют целое, которое принимают за 100%.

Что запомнить

• 1% = 1/100 = 0,01.
• Чтобы найти процент от числа, процент переводят в дробь и умножают на число.
• Чтобы найти целое по его процентной части, известную часть делят на соответствующую дробь.
• Чтобы узнать, сколько процентов одно число составляет от другого, находят их отношение и умножают его на 100%.
• В задаче важно сначала определить, что является целым, а что — его частью.