Деление на десятичную дробь

Определения и обозначения

Деление на десятичную дробь — действие, при котором десятичное число делят на десятичную дробь или натуральное число. Например, можно узнать, сколько отрезков длиной 0,6 помещается в отрезке длиной 4,8. Это действие нужно в задачах, где делят величины, записанные с запятой.

Делитель — число, на которое делят. Если делитель десятичный, перед вычислением его превращают в натуральное число, например 0,6 — в 6. Тогда можно воспользоваться знакомым способом деления на натуральное число.

Перенос запятой — одинаковое перемещение запятых в делимом и делителе вправо на одно и то же число разрядов. Это соответствует умножению обоих чисел на 10, 100 или другую степень десяти. Такой перенос нужен, чтобы убрать запятую именно из делителя.

Частное — результат деления. Оно не изменяется, если делимое и делитель умножить на одно и то же число, отличное от нуля. Это свойство позволяет преобразовать пример так, чтобы делитель стал натуральным, но значение ответа осталось прежним.

Как это устроено

Почему разрешено умножить сразу оба числа? Частное показывает, во сколько раз делимое больше делителя. Если увеличить и делимое, и делитель одинаково, это отношение сохранится: обе величины изменятся во столько же раз. Например, отношение 4,8 к 0,6 такое же, как отношение 48 к 6, потому что каждое число увеличили в 10 раз.

Чтобы десятичный делитель стал натуральным, выбери умножение на 10, 100, 1000 и так далее. Число нулей должно совпасть с количеством цифр после запятой в делителе: у 0,7 одна цифра, значит, умножают на 10; у 0,25 две, значит, на 100. Умножать нужно оба числа, иначе их отношение изменится.

Умножение на 10, 100 или 1000 можно представить как перенос запятой вправо на один, два или три знака. Например, при умножении 3,6 на 100 получаем 360: запятая как бы прошла две цифры, а недостающие места заняли нули. Это не меняет число действия: запись 3,6 становится 360 только потому, что число умножили на 100.

Когда делитель стал натуральным, раздели полученные числа по правилам деления на натуральное число. Если делимое осталось десятичным, выполняй знакомое деление десятичных дробей на натуральное число. Например, 4,8 : 0,6 превращается в 48 : 6, и дальше достаточно найти, сколько раз 6 содержится в 48.

Проверка помогает обнаружить ошибку в вычислении или переносе запятой. Умножь полученное частное на исходный делитель, а не на преобразованный. Если произведение равно исходному делимому, деление выполнено верно: умножение отменяет деление.

Как выполнить деление на десятичную дробь

В таблице показано, как выбрать преобразование по числу цифр после запятой в делителе. В каждой строке сначала выполни одинаковый перенос в обоих числах, а затем раздели полученные числа. Пользуйся примерами как образцами, обращая внимание на нули в делимом.

Разбор задач

Задача 1. Вычисли 4,8 : 0,6. В делителе одна цифра после запятой, поэтому достаточно умножить оба числа на 10. После этого делитель станет натуральным, и останется знакомое деление.

1. Делитель 0,6 умножаем на 10 и получаем 6.
2. Делимое 4,8 тоже умножаем на 10 и получаем 48.
3. Делим 48 на 6: получаем 8.

Ответ: 8. Проверить можно умножением: 8 · 0,6 = 4,8. Получили исходное делимое, значит, вычисление подходит.

Задача 2. Вычисли 7 : 0,25. В делителе две цифры после запятой, значит, оба числа нужно умножить на 100. В делимом нет записанных цифр справа от 7, поэтому при таком умножении к нему добавятся нули.

1. Умножаем делитель: 0,25 · 100 = 25.
2. Умножаем делимое: 7 · 100 = 700.
3. Делим 700 на 25. Так как 25 · 28 = 700, частное равно 28.

Ответ: 28. Нули в числе 700 появились при умножении 7 на 100, а не были добавлены произвольно. Это важно: такое преобразование сохраняет частное.

Задача 3. Вычисли 3,6 : 0,08 и проверь результат умножением. У делителя две цифры после запятой, поэтому переносим запятую в обоих числах на два знака вправо. Затем делим полученное число на натуральное число и проверяем ответ с исходным делителем.

1. Умножаем оба числа на 100: 3,6 : 0,08 = 360 : 8.
2. Делим 360 на 8 и получаем 45.
3. Проверяем: 45 · 0,08 = 3,6.

Ответ: 45. В проверке использован исходный делитель 0,08, а произведение совпало с исходным делимым 3,6. Значит, частное найдено верно.

Типичные ошибки

Если переносить запятую только в делителе, частное изменится: изменилось одно число, а другое осталось прежним. Так поступают, потому что хотят быстрее убрать запятую, но забывают о свойстве частного. Проверь себя: множители у делимого и делителя должны быть одинаковыми, например оба числа умножены на 10.

Нельзя сдвигать запятую в делимом и делителе на разное число знаков. Иначе числа умножаются на разные степени десяти, и их отношение становится другим. Перед делением сосчитай цифры после запятой в делителе и убедись, что такой же перенос сделан в делимом.

Иногда забывают дописать нули, когда в делимом не хватает цифр. Например, при умножении 7 на 100 получается 700, а не 70: иначе ты умножил число на 10, а не на 100. Для проверки посчитай, сколько знаков нужно перенести, и запиши соответствующее число нулей.

Ещё одна ошибка — начинать делить, пока в делителе остаётся запятая. Такое деление нельзя выполнить обычным способом деления на натуральное число. Сначала преврати делитель в натуральный и проверь, что делимое преобразовано так же; только потом переходи к вычислению.

Связь с другими темами

Для этой темы нужно уметь делить натуральные числа, читать десятичные дроби и умножать числа на 10, 100 и 1000. Правило основано на свойстве частного: делимое и делитель можно умножить на одно и то же ненулевое число. Похожее умножение десятичных дробей уже помогает понять, почему запятая перемещается при умножении на степень десяти. Деление на десятичную дробь пригодится в задачах на цену, количество и расстояние, а также для проверки умножения десятичных дробей.

Что запомнить

• Сначала преврати делитель в натуральное число.
• Для этого умножь делимое и делитель на одну и ту же степень десяти.
• Число знаков переноса выбирай по количеству знаков после запятой в делителе.
• Если нужно, допиши нули справа в делимом.
• После преобразования выполни обычное деление на натуральное число.
• Проверить деление можно умножением частного на исходный делитель.