"Математика", Ткачёва М.В.
Деление на десятичную дробь помогает находить, сколько раз одна величина содержится в другой, даже если делитель записан с запятой. Чтобы вычислить такое частное, делитель превращают в натуральное число: для этого делимое и делитель умножают на одну и ту же степень десяти. Запятая в обоих числах сдвигается одинаково, а затем выполняется обычное деление. Этот приём пригодится в задачах о цене, длине, расходе и скорости.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Делитель — число, на которое делят; в этой теме делитель записан десятичной дробью. Например, в записи 6,4 : 0,8 делитель — 0,8. Чтобы выполнить такое деление удобнее, его сначала заменяют равным по смыслу делением на натуральное число.
Частное — результат деления, показывающий, во сколько раз делимое больше или меньше делителя. В записи 6,4 : 0,8 частное показывает, сколько раз 0,8 содержится в 6,4. Это помогает понять смысл ответа и оценить, разумно ли он получился.
Деление на десятичную дробь — деление, при котором делитель содержит десятичную часть и сначала преобразуется в натуральное число. Например, деление на 0,8 можно заменить делением на 8, если одновременно изменить и делимое. Приём делает вычисление похожим на знакомое деление на натуральное число.
Основное свойство частного говорит: частное не изменится, если делимое и делитель умножить или разделить на одно и то же ненулевое число. Например, 6,4 : 0,8 = 64 : 8, потому что оба числа умножили на 10. Это свойство объясняет, почему можно убрать запятую в делителе, не меняя ответ.
Чтобы убрать запятую в делителе, нужно сдвинуть её вправо до конца дробной части. Такой сдвиг соответствует умножению числа на 10, 100 или другую степень десяти. Но если изменить только делитель, количество раз, которое он помещается в делимом, изменится. Поэтому делимое тоже умножают на то же число: тогда отношение двух чисел, то есть частное, сохраняется.
Количество знаков после запятой в делителе подсказывает, какую степень десяти выбрать. Если знак один, делитель умножают на 10; если два — на 100; если три — на 1000. Например, 0,25 нужно умножить на 100, чтобы получить 25. Делимое умножают на те же 100, иначе это уже будет другое деление.
Когда делитель стал натуральным числом, запятая больше не мешает выполнять деление. Можно применить обычный способ деления на натуральное число, сохраняя значение исходного выражения благодаря основному свойству частного. Например, 3,75 : 0,25 превращается в 375 : 25. Здесь уже можно разделить 375 на 25, не выполняя деление на десятичную дробь.
При переносе запятой нужно считать одинаковое число разрядов в обоих числах. Если в делимом запятая уже есть, она тоже передвигается вправо на столько знаков, сколько нужно для делителя. Например, в 5,832 : 1,2 обе запятые переносятся на один знак: получится 58,32 : 12. В делимом дробная часть при этом может остаться — это не ошибка, ведь цель состоит в том, чтобы сделать натуральным именно делитель.
Иногда в делимом не хватает цифр, чтобы перенести запятую на нужное число знаков. Тогда справа дописывают нули: например, 0,6 при умножении на 100 записывается как 60. Нули справа после запятой не меняют значения числа, зато позволяют точно выполнить преобразование. После вычисления проверь ответ обратным действием: умножь частное на исходный делитель и сравни результат с исходным делимым.
| Ситуация | Преобразование делимого и делителя | Дальнейшее действие | Пример записи |
|---|---|---|---|
| В делителе один знак после запятой | Умножить оба числа на 10 | Разделить на получившееся целое число | 6,4 : 0,8 = 64 : 8 |
| В делителе два знака после запятой | Умножить оба числа на 100 | Разделить на получившееся целое число | 3,75 : 0,25 = 375 : 25 |
| В делителе несколько знаков после запятой | Умножить оба числа на соответствующую степень десяти | Сначала сделать делитель натуральным числом | 0,126 : 0,007 = 126 : 7 |
| После переноса запятой в делимом появились пустые разряды | Дополнить запись делимого нулями | Выполнить деление с учётом запятой | 0,6 : 0,15 = 60 : 15 |
Сначала найди в делителе количество знаков после запятой, а затем выбери степень десяти в таблице. Проверь, что делимое и делитель преобразованы одинаково. После этого дели на получившееся натуральное число.
Задача 1. Вычислите: 8,4 : 0,7. В делителе один знак после запятой, поэтому нужно умножить оба числа на 10. Так мы сохраним частное и превратим 0,7 в натуральное число. Дальше остаётся выполнить деление на 7.
Ответ: 12. Проверка показывает, что найденное частное при умножении на делитель возвращает исходное делимое. Значит, вычисление выполнено верно.
Задача 2. Вычислите: 5,832 : 1,2. Здесь в делителе один знак после запятой, значит, оба числа нужно умножить на 10. После преобразования делитель станет натуральным, но в делимом сохранится запятая. Это допустимо: делить десятичную дробь на натуральное число можно обычным способом.
Ответ: 4,86. В проверке перемножаются полученное частное и исходный делитель, а не преобразованный. Результат совпал с числом 5,832 из условия.
Задача 3. Вычислите: 0,036 : 0,012. В делителе три знака после запятой, поэтому нужно умножить оба числа на 1000. В записи делимого уже есть три знака, так что нули дописывать не требуется. После переноса запятых получается деление натуральных чисел.
Ответ: 3. Если при переносе запятой в делимом не хватит цифр, справа нужно будет дописать нули. Здесь такой необходимости нет, а проверка обратным умножением подтверждает ответ.
Переносят запятую только в делителе. Так делают, когда помнят цель — убрать запятую, — но забывают об основном свойстве частного. В результате меняется значение деления, потому что делитель изменился, а делимое нет. Перед вычислением проверь: запятые в обоих числах должны быть сдвинуты на одинаковое число знаков.
Умножают на неправильную степень десяти. Например, при делителе 0,25 умножение на 10 не уберёт запятую. Обычно ошибка возникает, если не посчитать знаки после неё. Проверь, что выбранная степень десяти соответствует их количеству и что после преобразования в делителе действительно нет запятой.
Не дописывают нули в делимом. Если цифр не хватает для переноса запятой, преобразование может остановиться раньше нужного места. Это часто случается с небольшими числами, например 0,6 при делении на 0,15. Запиши 0,6 как 0,60, а после умножения на 100 получи 60; лишние нули справа после запятой значения не меняют.
Неверно определяют положение запятой в частном и не проверяют ответ. При делении десятичной дроби на натуральное число важно аккуратно выполнить деление и правильно записать запятую. Ошибка может казаться незаметной, если смотреть только на цифры ответа. Умножь частное на исходный делитель: если не получилось исходное делимое, проверь вычисления и положение запятой.
Для этого способа нужно уметь выполнять действия с десятичными дробями, умножать их на 10, 100 и 1000 и делить на натуральные числа. Основа правила — основное свойство частного и связь деления с умножением: деление можно проверить обратным действием. Приём нужен в задачах, где надо найти цену одной вещи, расход на единицу пути или материала, скорость, длину либо перевести единицы измерения. В таких ситуациях делитель часто оказывается десятичной дробью.
Почему запятую нужно переносить одновременно в делимом и делителе?
Так мы умножаем оба числа на одно и то же ненулевое число, а по основному свойству частного значение деления не меняется. Если изменить только делитель, частное станет другим.
На сколько знаков переносить запятую?
Посчитай знаки после запятой в делителе. На столько же знаков вправо перенеси запятые в делимом и делителе: например, при двух знаках умножь оба числа на 100.
Что делать, если в делимом меньше знаков после запятой, чем в делителе?
Продолжай перенос запятой в делимом, дописывая справа нули. Например, 0,6 : 0,15 превращается в 60 : 15.
Можно ли сначала округлить делитель, чтобы было проще считать?
Нет, округление меняет значение делителя, поэтому частное обычно тоже изменится. Вместо этого умножь делимое и делитель на одну и ту же степень десяти.
Как проверить результат деления на десятичную дробь?
Умножь полученное частное на делитель: должно получиться делимое. Например, если 8,4 : 0,7 = 12, проверь: 12 · 0,7 = 8,4.
9.2. Деление на десятичную дробь
