37. Деление на десятичную дробь

Определения и обозначения

Деление на десятичную дробь — действие, при котором находят число, дающее делимое при умножении на десятичный делитель. Например, если 7,2 : 0,6 = 12, то 12 · 0,6 = 7,2. Это определение помогает понять, что деление и умножение связаны между собой. Оно пригодится и для проверки готового ответа.

Делитель — десятичная дробь, на которую делят. В записи 7,2 : 0,6 делитель — 0,6, а делимое — 7,2. Делитель не может быть равен нулю: деление на ноль не выполняют. Перед вычислением полезно определить, какое число делят и на какое.

Частное — результат деления, который показывает, во сколько раз делимое больше или меньше делителя. Например, в равенстве 7,2 : 0,6 = 12 частное равно 12: число 7,2 в 12 раз больше 0,6. Частное может быть целым числом или десятичной дробью. Понимание его смысла помогает оценить, похож ли ответ на разумный.

Перенос запятой — одновременное перемещение запятой в делимом и делителе на одинаковое число разрядов вправо. Такой перенос равносилен умножению обоих чисел на 10, 100 и так далее. Благодаря этому делитель можно сделать натуральным числом, не меняя частное. Это основной приём вычисления.

Как это устроено

Десятичный делитель неудобно использовать при обычном делении в столбик, поэтому его превращают в натуральное число. Для этого делимое и делитель умножают на одну и ту же степень числа 10. Частное от этого не меняется: если оба числа увеличить одинаково, отношение между ними останется прежним. Например, 7,2 : 0,6 превращается в 72 : 6, а результат деления остаётся тем же.

Число переносов запятой выбирают по делителю: считают цифры, стоящие после его запятой. Если там одна цифра, оба числа умножают на 10 и переносят запятые на один разряд вправо. Если цифр две, умножают на 100 и переносят запятые на два разряда. Так десятичная часть делителя становится целой.

Когда запятую перенесли на нужное число разрядов, делитель записывается натуральным числом. После этого выполняют обычное деление на него, как при делении натуральных чисел. Если запятая была в делимом, при делении учитывают её положение и правильно записывают результат. Преобразование меняет вид примера, но не его частное.

В делимом может оказаться мало цифр после запятой для такого же переноса. Тогда справа дописывают нули: например, 3,5 можно записать как 3,50, потому что ноль в конце дробной части не меняет значения числа. Теперь запятую можно передвинуть на два разряда и получить 350. Это не добавляет делимому величины, а лишь помогает выполнить нужное преобразование.

После вычисления полезно проверить частное умножением на исходный делитель: должно получиться исходное делимое. Такая проверка возвращает вычисление к смыслу деления. Дополнительно оцени ответ: сравни его с делимым и делителем, чтобы заметить явную ошибку. Например, частное в задаче 3,5 : 0,07 должно быть больше 3,5, поскольку делитель меньше единицы.

Алгоритм деления на десятичную дробь

Пользуйся таблицей по порядку: сначала посмотри, сколько цифр после запятой у делителя, и преобразуй оба числа. Затем проверь, стал ли делитель натуральным, и выполни деление. В конце умножь частное на исходный делитель.

Разбор задач

Задача 1. Вычислить 7,2 : 0,6. В делителе 0,6 после запятой одна цифра, поэтому запятую нужно передвинуть на один разряд в обоих числах. Так делитель станет натуральным, и вычисление можно будет выполнить привычным способом. После деления проверим, подходит ли результат к исходным числам.

1. Переносим запятую вправо на один разряд: 7,2 : 0,6 = 72 : 6.
2. Делим натуральные числа: 72 : 6 = 12.
3. Проверяем смысл ответа: 12 · 0,6 = 7,2, значит, частное найдено верно.

Ответ: 12.

Задача 2. Вычислить 4,68 : 0,12. У делителя две цифры после запятой, значит, оба числа надо умножить на 100. Переносим запятые на два разряда вправо и получаем деление на натуральное число. Частное сохраняется, потому что и делимое, и делитель увеличили в одинаковое число раз.

1. Переносим запятые на два разряда: 4,68 : 0,12 = 468 : 12.
2. Делим: 468 : 12 = 39, так как 12 · 39 = 468.
3. Проверяем преобразование: 39 · 0,12 = 4,68, поэтому результат соответствует исходному примеру.

Ответ: 39.

Задача 3. Вычислить 3,5 : 0,07 и выполнить проверку. В делителе две цифры после запятой, а в делимом после запятой только одна. Чтобы перенести запятую на два разряда в обоих числах, сначала допишем к делимому ноль: 3,5 = 3,50. Значение делимого не изменится.

1. Записываем делимое с нулём: 3,5 : 0,07 = 3,50 : 0,07.
2. Переносим запятые вправо на два разряда: 3,50 : 0,07 = 350 : 7.
3. Выполняем деление: 350 : 7 = 50.
4. Проверяем умножением на исходный делитель: 50 · 0,07 = 3,5. Получили делимое, значит, ответ верен.

Ответ: 50.

Типичные ошибки

Переносят запятую только в одном числе. Тогда делимое и делитель изменяются неодинаково, поэтому частное может стать другим. Так поступают, если забывают, что преобразовать нужно оба числа. Проверь себя: запятые должны перемещаться одновременно.

Переносят запятые на разное число разрядов. В этом случае делимое и делитель умножаются на разные числа, и равенство частных нарушается. Ошибку легко допустить, если считать разряды в каждом числе отдельно. Сверься с делителем: именно число цифр после его запятой задаёт перенос для обоих чисел.

Забывают дописать нули к делимому. Тогда запятую не удаётся перенести на нужное число разрядов, а пример может быть записан неверно. Такое случается, если цифр после запятой в делимом меньше, чем в делителе. Добавь справа недостающие нули и помни, что они в конце дробной части значения числа не меняют.

Ошибаются в записи результата или не проверяют его. Даже верно выполненное деление можно испортить, если неверно поставить запятую или переписать число. Проверь умножением: частное, умноженное на исходный делитель, должно дать делимое. Оценка ответа относительно исходных чисел тоже помогает заметить грубую ошибку.

Связь с другими темами

Для деления на десятичную дробь нужны смысл деления и свойства частного, а также умение умножать и делить натуральные числа. Полезно знать, как записывают десятичные дроби и что происходит при умножении на 10, 100 и 1000. Сравнение и округление дробей помогают оценить, разумен ли ответ. Этот способ пригодится в задачах о скорости, цене и расходе материалов, а затем — при изучении действий с обыкновенными дробями.

Что запомнить

• Чтобы разделить на десятичную дробь, делитель превращают в натуральное число.
• Запятую в делимом и делителе переносят вправо на одинаковое число разрядов.
• Число переносов равно числу цифр после запятой в делителе.
• При необходимости к делимому дописывают нули.
• После преобразования выполняют обычное деление на натуральное число.
• Правильность ответа можно проверить умножением частного на делитель.
• На ноль делить нельзя.