"Математика (в 2 частях)", Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И.
Среднее арифметическое показывает, каким было бы каждое число, если бы несколько чисел заменили одинаковыми, не меняя их общую сумму. Чтобы его найти, складывают все значения и делят сумму на их количество. Это помогает сравнивать результаты и описывать общий уровень измерений, например число прочитанных за день страниц. Важно делить именно на количество значений, а для величин записывать единицу измерения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Среднее арифметическое нескольких чисел — это число, которое получают, если сложить эти числа и разделить сумму на их количество. Например, для чисел 6 и 10 сумма равна 16, а чисел два. Значит, их среднее арифметическое равно 16 : 2 = 8. Такой расчёт помогает заменить несколько значений одним общим показателем.
Вычисление среднего арифметического записывают так: сумму чисел делят на количество слагаемых. Если даны числа a, b и c, то их среднее арифметическое равно (a + b + c) : 3. Число в знаменателе показывает, сколько значений складывали. Такая запись удобна, когда чисел много и нужно не забыть, на что делить сумму.
Среднее значение величины — это среднее арифметическое нескольких измерений одной и той же величины. Например, можно найти среднее число страниц, прочитанных за несколько дней, или среднюю длину нескольких отрезков. Этот показатель описывает общий уровень измерений, но не обязательно совпадает с каждым отдельным результатом. Единицу измерения при этом сохраняют.
Сначала числа складывают, потому что сумма учитывает общий вклад каждого значения. Если складываются результаты за несколько дней, общий итог показывает, сколько всего было сделано за эти дни. При этом одно большое значение может частично уравновесить несколько маленьких. Поэтому нельзя выбрать только одно значение и считать его представителем всех данных.
Затем сумму делят именно на количество чисел. Так общий итог распределяется поровну между всеми значениями, которые рассматривают. Например, если 12 яблок разложить в 3 одинаковые корзины, в каждой окажется 12 : 3 = 4 яблока. Среднее арифметическое работает так же: оно показывает значение, которое получилось бы, если бы все числа были одинаковыми, а сумма не изменилась.
Понять смысл среднего можно с помощью замены чисел одинаковыми. Возьмём 2 и 8: их сумма равна 10, а среднее — 5. Если заменить оба числа пятёрками, получится та же сумма: 5 + 5 = 10. Значит, среднее — это не новый общий итог, а равное значение для каждого числа, сохраняющее прежнюю сумму.
Если усредняют величины, сначала проверяют, что они выражены в одинаковых единицах. Например, длины 1 м и 3 м можно сложить и разделить на 2: средняя длина будет 2 м. Если одна длина указана в метрах, а другая в сантиметрах, их сначала переводят в одни единицы. В ответе указывают единицу величины, потому что число без неё может быть непонятным.
Среднее арифметическое не обязано быть одним из исходных чисел: между 6 и 10 находится 8, и именно оно является их средним. При этом среднее не бывает меньше наименьшего или больше наибольшего из чисел. Ведь при равном распределении суммы нельзя получить значение за пределами всех исходных значений. Это свойство помогает проверить, не допущена ли ошибка в вычислениях.
| Что рассматриваем | Как найти | Как проверить или истолковать |
|---|---|---|
| Два числа | Сложить числа и разделить сумму на 2. | Заменить оба числа их средним: сумма должна сохраниться. |
| Несколько чисел | Сложить все числа и разделить сумму на их количество. | Проверить, что учтены все слагаемые и их число. |
| Числа, обозначающие величины | Сложить значения в совместимых единицах и разделить на их количество. | Убедиться, что значения относятся к одной величине; записать единицу ответа. |
| Результат вычисления | Среднее умножить на количество чисел, чтобы получить сумму. | Среднее должно быть не меньше наименьшего и не больше наибольшего числа. |
Сначала найди, какие значения рассматриваются и сколько их, затем выбери подходящую строку таблицы. После вычисления проверь смысл результата: можно ли представить, что все исходные значения заменили одинаковыми, не изменив сумму. Для величин дополнительно проверь единицы измерения.
Задача 1. Найти среднее арифметическое чисел 6 и 10. Здесь всего два числа, поэтому нужно сложить их и разделить полученную сумму на 2. Такой ход показывает, какое одинаковое число заменило бы оба исходных числа без изменения суммы.
Ответ: 8. Проверка: 8 + 8 = 16, то есть сумма сохранилась.
Задача 2. За три дня ученик прочитал 18, 24 и 21 страницу. Сколько страниц в среднем он читал за день? Сначала найдём, сколько страниц прочитано всего, потому что каждый день вносит вклад в общий итог. Затем распределим этот итог поровну между тремя днями.
Ответ: в среднем ученик читал 21 страницу в день. Единица ответа — страницы за день, потому что речь идёт о числе страниц, прочитанных за один день.
Задача 3. Среднее арифметическое четырёх чисел равно 12. Три числа — 9, 11 и 14. Найти четвёртое число. Из среднего и количества чисел можно восстановить их общую сумму: если бы каждое из четырёх чисел было равно 12, сумма осталась бы той же. После этого найдём, какая часть суммы приходится на неизвестное число.
Ответ: четвёртое число равно 14. Проверка: 9 + 11 + 14 + 14 = 48, а 48 : 4 = 12.
Ошибка: делить сумму не на число слагаемых, а на другое число. Так бывает, если перепутать количество значений с одним из них или с числом, упомянутым в условии. Пересчитай исходные значения и проверь, сколько именно чисел складывал. Например, для четырёх чисел делитель должен быть 4.
Ошибка: сложить числа и остановиться, не разделив сумму. Сумма показывает общий итог, а среднее — равное значение для каждого числа, поэтому это разные результаты. Такую ошибку легко допустить, если сосредоточиться только на сложении. Проверь, выполнил ли ты деление на количество всех значений.
Ошибка: при поиске неизвестного числа умножить среднее на количество и записать произведение в ответ. Это произведение даёт сумму всех чисел, а не одно неизвестное слагаемое. Нужно ещё вычесть сумму известных чисел. Для проверки сложи найденное число с известными: должен получиться общий итог.
Ошибка: усреднять величины с разными единицами или не указывать единицу ответа. Числа вроде 1 м и 30 см нельзя сразу складывать, пока не приведены к одной единице; величины разных типов, например длину и массу, усреднять нельзя. Сначала проверь, что значения измеряют одно и то же, и при необходимости переведи их в совместимые единицы. Затем укажи единицу полученного среднего.
Для нахождения среднего нужны навыки сложения, деления суммы на число и определения количества слагаемых. Если не пересчитать значения, можно выбрать неверный делитель и получить неправильный результат. Полезно также уметь проверять действие умножением или сложением. Эти умения помогают и при решении обратных задач, когда по среднему ищут общую сумму или неизвестное число.
Среднее арифметическое используют при обработке результатов измерений и сравнении данных. Например, оно помогает оценить, сколько страниц ученик обычно читает за день, если результаты разных дней отличаются. При этом среднее описывает общий уровень, а не обязательно каждый отдельный результат. Поэтому при сравнении важно смотреть и на сами значения, и на их среднее.
Понятие среднего подготавливает к задачам о средней скорости и других средних величинах. В таких задачах также важно учитывать все данные, но способ вычисления зависит от того, что именно усредняют и как величины связаны между собой. Поэтому нельзя автоматически применять формулу среднего арифметического к любой величине со словом «средняя». Сначала нужно разобраться в условии и единицах измерения.
Почему среднее арифметическое — это не просто сумма чисел?
Сумма показывает общий итог всех чисел, а среднее — значение, которое пришлось бы на каждое число, если распределить этот итог поровну. Поэтому сумму нужно разделить на количество чисел.
На какое число делить сумму при нахождении среднего?
Делить нужно на количество чисел, которые усредняют. Например, для пяти значений сумму делят на 5, даже если сами значения большие или маленькие.
Может ли среднее арифметическое не совпадать ни с одним из исходных чисел?
Да. Например, среднее чисел 6 и 10 равно 8, хотя среди исходных чисел восьмёрки нет.
Как найти неизвестное число, если известно среднее арифметическое?
Сначала умножь среднее на количество всех чисел: так найдёшь их общую сумму. Затем вычти сумму известных чисел.
Можно ли находить среднее арифметическое величин с разными единицами измерения?
Сначала значения нужно выразить в одинаковых или совместимых единицах и убедиться, что они относятся к одной величине. Например, нельзя напрямую усреднить длину и массу.
38. Среднее арифметическое
