2.78. Среднее арифметическое

Определения и обозначения

Средним арифметическим нескольких чисел называют частное от деления суммы этих чисел на их количество. Например, для чисел 3, 5 и 7 среднее равно (3 + 5 + 7) : 3 = 5. Число 3 здесь показывает, сколько значений сложили. Такое вычисление нужно, чтобы заменить несколько данных одним числом и кратко описать их общий уровень.

Если даны числа a₁, a₂, …, aₙ, их среднее арифметическое обозначают выражением (a₁ + a₂ + … + aₙ) : n. Буква n означает количество чисел, а a₁, a₂ и другие обозначения — сами числа набора. Формула помогает не забыть ни одно слагаемое и разделить именно на число значений. Она подходит и тогда, когда числа записаны не буквами, а обычными данными из задачи.

Как это устроено

Сначала все значения складывают, потому что сумма показывает общий итог для всего набора. Например, если за три дня потратили 200, 300 и 400 рублей, общий расход составил 900 рублей. Чтобы найти средний расход за день, нужно распределить эту сумму поровну между тремя днями. Поэтому среднее арифметическое равно 900 : 3 = 300 рублей.

На количество делят именно потому, что ищут значение, которое при одинаковом повторении дало бы ту же общую сумму. Если три числа заменить их средним, сумма не изменится: каждое из трёх одинаковых значений вносит одинаковую долю в итог. Это можно представить как равное распределение общего количества предметов по группам. Если групп или наблюдений больше, общий итог делят на большее число.

Каждое значение влияет на среднее, даже если оно встречается только один раз. Поэтому среднее может не совпадать ни с одним числом из исходного набора: для 2, 5 и 8 оно равно 5, а для 2, 4 и 9 — 5. Когда исходные величины измерены в одних единицах, среднее сохраняет ту же единицу: у расходов в рублях среднее тоже выражается в рублях. Если сложить, например, метры и килограммы, осмысленное среднее получить нельзя.

Среднее полезно для сравнения наборов данных, но оно не сообщает, какие именно значения были в наборе и как часто они повторялись. Например, наборы 2, 5, 8 и 4, 5, 6 имеют одинаковое среднее — 5, хотя отличаются по составу. Кроме того, необычно большое или маленькое значение может заметно сдвинуть результат. Поэтому среднее описывает общий уровень, но не заменяет все сведения о данных.

Алгоритм нахождения среднего арифметического

Пользуйся таблицей по порядку: сначала определяй число значений, затем складывай их и дели сумму на это число. В задачах с величинами обязательно сохраняй единицы измерения и указывай их в ответе. Полезно ещё раз сверить количество слагаемых и делитель.

Разбор задач

Задача. За пять дней ученик прочитал 12, 15, 10, 18 и 20 страниц. Сколько страниц в среднем он читал за день? Нужно найти среднее арифметическое пяти дневных результатов, а не сложить количество страниц и остановиться на этом. Сначала выясним общий объём чтения за пять дней, затем распределим его поровну по дням.

1. Посчитаем количество значений: даны результаты за пять дней, значит, делить нужно на 5. Это число наблюдений, а не сумма страниц и не количество разных чисел.

2. Найдём общее количество прочитанных страниц: 12 + 15 + 10 + 18 + 20 = 75. Сложение учитывает чтение за каждый день и показывает общий итог.

3. Разделим общий итог на число дней: 75 : 5 = 15. Полученное число показывает, сколько страниц пришлось бы на каждый день, если бы общий объём распределился равномерно.

4. Запишем ответ с единицей измерения: в среднем ученик читал 15 страниц за день. Проверка: 15 страниц × 5 дней = 75 страниц, то есть исходный общий объём восстановился.

При такой проверке важно помнить, что среднее не означает, будто ученик действительно каждый день читал ровно по 15 страниц. Это обобщённое значение для всех пяти дней. В отдельные дни он прочитал больше, а в другие — меньше.

Типичные ошибки

Первая ошибка — забыть разделить сумму на количество значений или разделить не на то число. Её допускают, когда считают числа механически и не связывают делитель с условием задачи. Перед вычислением отметь, сколько результатов дано, а после решения проверь, что именно на это количество разделена сумма. Если данных пять, делитель должен быть 5.

Вторая ошибка — пропустить значение при сложении или использовать разные единицы измерения. Такое случается, если числа записаны в разных местах условия или величины сначала не переведены к одной единице. Перечисли данные и сверь каждое с слагаемыми, а при необходимости сначала переведи их, например, все в сантиметры. В ответе укажи ту же единицу измерения, что и у исходных величин после приведения.

Ещё одна ошибка — считать среднее одним из исходных результатов или делать вывод, что каждый день значение было именно таким. Среднее показывает равное распределение общего итога, а не реальную картину каждого наблюдения. Проверь себя умножением: среднее, умноженное на количество значений, должно дать их исходную сумму. Если это верно, вычисление согласуется с определением, хотя отдельные числа могут отличаться от среднего.

Связь с другими темами

Для нахождения среднего нужны сложение и деление, поэтому полезно уверенно выполнять действия с натуральными и десятичными числами. Если данные выражены в разных единицах, сначала применяют знания о величинах и переводе единиц. Среднее встречается в задачах на обработку данных: по нему сравнивают результаты измерений, оценки или расходы. Позже тот же принцип используют при работе с более сложными наборами чисел, сохраняя идею «общая сумма, делённая на количество».

Что запомнить

• Среднее арифметическое равно сумме чисел, делённой на их количество.
• Сначала найди количество значений и их сумму, затем раздели сумму на количество.
• Среднее сохраняет единицы измерения исходных величин, если они одинаковы.
• Среднее описывает общий уровень набора, но не показывает все его особенности.
• Для проверки умножь найденное среднее на количество значений: должна получиться исходная сумма.