"Математика (в 3-х частях)", Демидова Т.Е., Козлова С.А., Тонких А.П.
Арифметические действия над числами — это сложение, вычитание, умножение и деление. Они позволяют находить сумму, разность, произведение и частное, преобразовывать выражения и решать уравнения. Нужно знать названия компонентов, свойства действий, правила знаков, порядок вычислений и ограничение: на ноль делить нельзя. Эти правила помогают считать точно и выбирать удобный способ решения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Сложение — действие, при котором два или несколько чисел объединяются. Числа называют слагаемыми, а результат — суммой: 7 + 5 = 12. Это действие используют, когда нужно узнать общее количество или увеличить число на несколько единиц.
Вычитание — действие, обратное сложению: из уменьшаемого вычитают вычитаемое и получают разность. В записи 14 − 6 = 8 число 14 — уменьшаемое, 6 — вычитаемое, 8 — разность. Вычитание помогает узнать, сколько осталось, или найти, на сколько одно число отличается от другого.
Умножение заменяет сложение одинаковых слагаемых. Числа называют множителями, а результат — произведением: 4 · 3 = 12 означает 3 + 3 + 3 + 3 = 12. Умножение удобно для подсчёта равных групп и быстрого увеличения числа в несколько раз.
Деление — действие, обратное умножению: делимое разделяют на делитель и получают частное. В равенстве 20 : 5 = 4 число 20 — делимое, 5 — делитель, 4 — частное. Деление показывает, на сколько равных частей разделили число или сколько раз делитель содержится в делимом; на ноль делить нельзя.
Сложение и вычитание связаны тем, что одно действие отменяет другое. Если известно, что 8 + 5 = 13, то из 13 вычитанием можно найти любое слагаемое: 13 − 8 = 5. Поэтому результат сложения проверяют вычитанием, а результат вычитания — сложением; это позволяет обнаружить ошибку и найти неизвестное число.
Умножение и деление устроены так же. Из равенства 6 · 4 = 24 следуют равенства 24 : 6 = 4 и 24 : 4 = 6. Перестановка множителей не меняет произведение, потому что число предметов в одинаковых группах остаётся тем же, но при делении нужно учитывать, что делимое и делитель выполняют разные роли.
У сложения и умножения есть переместительное свойство: a + b = b + a и a · b = b · a. При вычитании и делении роли чисел различны, поэтому перестановка меняет результат: 10 − 3 не равно 3 − 10, а 12 : 4 не равно 4 : 12. С отрицательными числами это свойство не исчезает, но знак результата нужно определить отдельно.
При сложении чисел с одинаковыми знаками складывают их модули и сохраняют общий знак, а при разных знаках из большего модуля вычитают меньший и ставят знак числа с большим модулем. Вычитание заменяют сложением противоположного числа: a − b = a + (−b). При умножении и делении одинаковые знаки дают положительный результат, разные — отрицательный; сначала находят модуль, затем ставят знак.
Распределительное свойство связывает умножение со сложением и вычитанием: a · (b + c) = a · b + a · c и a · (b − c) = a · b − a · c. Оно объясняет, как раскрывать скобки: множитель перед скобками умножают на каждый её член. Обратно, общий множитель можно вынести за скобки: 6x + 6y = 6 · (x + y), что часто упрощает вычисления.
Порядок действий нужен, чтобы одно выражение имело однозначный результат. Сначала считают в скобках, затем выполняют умножение и деление слева направо, а потом сложение и вычитание слева направо. Скобки меняют порядок вычислений, поэтому их нельзя пропускать даже тогда, когда выражение кажется простым.
| Действие | Компоненты | Результат | Обратное действие | Важные ограничения и свойства |
|---|---|---|---|---|
| Сложение | Слагаемые | Сумма | Вычитание | Можно менять слагаемые местами: a + b = b + a |
| Вычитание | Уменьшаемое, вычитаемое | Разность | Сложение | Нельзя менять числа местами без изменения результата |
| Умножение | Множители | Произведение | Деление | Можно менять множители местами: a · b = b · a |
| Деление | Делимое, делитель | Частное | Умножение | На ноль делить нельзя; делимое и делитель неравноправны |
По таблице можно быстро определить название любого числа в записи и подобрать обратное действие для проверки. Свойства в последнем столбце подсказывают, какие преобразования допустимы, а какие изменят ответ.
Вычислим значение выражения 48 − 3 · (7 + 5). Здесь есть скобки, умножение и вычитание, поэтому нельзя считать строго слева направо. Сначала упростим часть в скобках, затем будем двигаться по установленному порядку.
Ответ: 12.
Найдём удобным способом значение выражения 37 · 25 + 63 · 25. Оба слагаемых содержат множитель 25, поэтому можно не считать два больших произведения отдельно. Вынесем общий множитель за скобки, а затем вычислим сумму внутри них.
Ответ: 2500.
Решим уравнение 5 · (x − 4) = 35. Сначала нужно убрать умножение на 5, разделив обе части на 5, а затем отменить вычитание 4 сложением. После этого обязательно проверим найденное значение подстановкой.
Ответ: x = 11.
Нарушение порядка действий возникает, когда выражение считают слева направо. Так пропускают приоритет скобок, умножения и деления. Запишите промежуточные шаги и сравните их с правилом: скобки, умножение и деление, сложение и вычитание.
Правила знаков часто путают при сложении чисел с разными знаками и при умножении отрицательных чисел. При сложении сравнивают модули, а при умножении и делении смотрят только на совпадение знаков. Проверьте знак отдельно от числового значения и оцените, разумен ли ответ.
Некоторые считают деление на ноль допустимым, потому что ноль можно прибавлять к числу. Но не существует числа, которое при умножении на ноль даст ненулевое делимое. Перед делением всегда проверяйте, не равен ли делитель нулю.
При раскрытии скобок перед отрицательным числом забывают изменить знаки всех слагаемых. Ошибка появляется, когда минус воспринимают только как знак первого числа. Умножьте каждый член скобок на −1 и затем выполните обратную проверку.
До изучения темы нужны состав числа, таблица умножения и свойства действий. Также важно уверенно выполнять действия с обыкновенными и десятичными дробями, поскольку те же правила применяются к ним.
Арифметические действия нужны при преобразовании числовых выражений, решении уравнений и неравенств. Порядок действий и обратные операции помогают переходить от условия к неизвестной величине.
Эти правила становятся основой действий с буквенными выражениями и алгебраическими дробями. Распределительное свойство, работа со скобками и сокращение общих множителей используются там постоянно.
Почему нельзя делить на ноль?
Деление a : b означает поиск такого числа, которое при умножении на b даёт a. При b = 0 произведение любого числа на ноль равно нулю, поэтому частного для ненулевого делимого не существует.
Можно ли менять местами числа при вычитании и делении?
Нет, вычитание и деление не обладают переместительным свойством. Например, 9 − 4 ≠ 4 − 9, а 12 : 3 ≠ 3 : 12.
Как определить знак результата при умножении отрицательных чисел?
Если знаки множителей одинаковые, результат положительный: (−3) · (−5) = 15. Если знаки разные, результат отрицательный: (−3) · 5 = −15; такое же правило действует при делении.
Что делать первым, если в выражении есть скобки и несколько действий?
Сначала выполняют действия в скобках, затем умножение и деление, а после этого сложение и вычитание. Действия одного приоритета выполняют слева направо.
Как проверить результат арифметического действия?
Используйте обратное действие: сложение проверяют вычитанием, вычитание — сложением, умножение — делением, а деление — умножением. Также оцените знак и примерный размер ответа.
2.73—2.77. Арифметические действия над числами
