2.72. Письменное деление многозначных чисел на двузначное число

Определения и обозначения

Письменное деление на двузначное число — способ находить частное по разрядам, последовательно выполняя деление, умножение и вычитание. Вместо того чтобы сразу искать весь ответ, мы определяем цифру частного для каждого разряда отдельно. Такой порядок помогает контролировать вычисления и не терять разрядное значение цифр.

Неполное делимое — часть делимого, которую на данном шаге делят на делитель; сначала выбирают наименьшую часть, не меньшую делителя. Например, если первые две цифры делимого меньше делителя, к ним присоединяют следующую цифру. Это понятие нужно, чтобы правильно определить, с какого места начинать деление.

Цифра частного — цифра, которую записывают в соответствующем разряде частного после определения, сколько раз делитель содержится в неполном делимом. Она всегда находится в пределах от 0 до 9, потому что является одной цифрой. Разряд этой цифры зависит от того, сколько цифр делимого уже использовано.

Пробное частное — предварительно выбранная цифра частного, которую проверяют умножением на делитель и при необходимости изменяют. Её можно оценить по старшим цифрам, но такая оценка не всегда точна. Проверка нужна, чтобы произведение не оказалось больше неполного делимого.

Как это устроено

Сначала смотрят на цифры делимого слева направо и выбирают первую часть, которая не меньше делителя. Если начать с меньшей части, делитель не поместится в неё даже один раз, и первая цифра частного окажется лишней. Разряд, к которому относится первая цифра выбранной части, подсказывает разряд первой цифры частного. Например, если деление начинается с сотен, первая цифра частного будет стоять в разряде сотен.

Чтобы оценить цифру частного, можно сравнить старшие разряды неполного делимого и делителя. Если в неполном делимом 67 десятков, а в делителе 21 десяток, пробуем цифру 3: она примерно показывает, сколько раз делитель помещается в этой части. Но округлённая оценка может оказаться завышенной, поэтому её нельзя считать готовым ответом. Умножение на весь делитель проверяет оценку точно.

Произведение делителя на выбранную цифру частного должно быть не больше неполного делимого: иначе мы вычли бы слишком много и получили отрицательный остаток. Если произведение превышает неполное делимое, уменьшают пробную цифру и повторяют умножение. Когда произведение подходит, его вычитают. Полученный остаток показывает, какая часть неполного делимого пока не использована.

После вычитания к остатку приписывают следующую цифру делимого — это называют сносом цифры. Так получают новое неполное делимое для очередного шага, не меняя порядка цифр исходного числа. Если забыть цифру или снести не ту, дальнейшие части числа и ответ изменятся. Поэтому после каждого вычитания нужно проверить, какая цифра делимого ещё не использована.

Цифры частного записывают по порядку разрядов: каждая соответствует очередной части делимого, с которой выполняют деление. Если после сноса очередной цифры неполное делимое меньше делителя, делитель помещается в нём ноль раз. Тогда в частном на этом месте записывают 0, а затем сносят следующую цифру. Иначе цифры частного сдвинутся, и ответ будет обозначать другое число.

Этапы письменного деления на двузначное число

Используй таблицу как маршрут: переходи к следующему действию только после проверки предыдущего. Особенно внимательно сверяй остаток и разряд каждой цифры частного. В конце умножение позволяет проверить вычисление целиком.

Разбор задач

Вычислить 672 : 21

Начинаем с 67: число 6 меньше 21, поэтому одной цифры для первого неполного делимого недостаточно. Первая цифра частного будет относиться к десяткам. После её определения остаётся проверить умножение и продолжить деление с последней цифрой числа 672.

1. Берём первые две цифры: 67. Прикидываем, что 21 поместится здесь примерно 3 раза.
2. Проверяем: 21 × 3 = 63, а 63 ≤ 67. Записываем 3 в частное и вычитаем: 67 − 63 = 4.
3. Сносим последнюю цифру 2. Получаем новое неполное делимое 42.
4. Проверяем цифру 2: 21 × 2 = 42. Вычитаем, остаток равен 0.

В частном записаны цифры 3 и 2, поэтому 672 : 21 = 32. Проверка: 32 × 21 = 672. Результат совпал с делимым, значит, деление выполнено верно.

Вычислить 4 368 : 24

Первые две цифры дают 43, и это первое неполное делимое. По старшим разрядам можно предположить цифру 2, но проверка покажет, что такая оценка завышена. После корректировки важно снова продолжать сносить цифры по порядку.

1. Пробуем 2: 24 × 2 = 48. Это больше 43, поэтому цифра 2 не подходит.
2. Уменьшаем пробное частное до 1: 24 × 1 = 24. Вычитаем: 43 − 24 = 19. Записываем 1 в частное.
3. Сносим 6 и получаем 196. Подбираем цифру 8: 24 × 8 = 192, а 24 × 9 = 216 больше 196. Значит, записываем 8 и получаем остаток 4.
4. Сносим 8: новое неполное делимое равно 48. 24 × 2 = 48, поэтому последняя цифра частного — 2, остаток равен 0.

Получаем 4 368 : 24 = 182. Проверка: 182 × 24 = 4 368. Этот пример показывает, почему даже разумную оценку цифры частного нужно проверять умножением.

Вычислить 8 064 : 32

Здесь особенно важно сохранять место каждой цифры частного. Начинаем с 80, потому что первая цифра 8 меньше 32. После первого вычитания остаток меньше делителя, но следующая цифра делимого превращает его в новое неполное делимое.

1. Для 80 выбираем 2: 32 × 2 = 64. Вычитаем 80 − 64 = 16 и записываем первую цифру частного 2.
2. Сносим 6, получаем 166. Выбираем 5, так как 32 × 5 = 160, а 32 × 6 = 192 больше 166. Остаток равен 6.
3. Сносим 4 и получаем 64. Выбираем 2: 32 × 2 = 64. Остаток равен 0.

Ответ: 8 064 : 32 = 252. Проверка: 252 × 32 = 8 064. В этом примере ноль в частном не нужен: после каждого сноса получалось число не меньше 32; остаток 16 сам по себе ещё не означает, что нужно записывать ноль.

Типичные ошибки

Начинают делить не с того разряда, например берут первую цифру, хотя она меньше делителя. Тогда делитель не помещается в начальную часть, и запись частного сбивается. Такую ошибку допускают, если сразу начинают деление, не сравнив числа. Проверь себя: первое неполное делимое должно быть не меньше делителя.

Оставляют пробную цифру частного без умножения на делитель. Приблизительная оценка может быть завышенной, и тогда произведение превысит неполное делимое. Это случается, когда ориентируются только на старшие цифры. Перед вычитанием обязательно сравни произведение с неполным делимым.

Неверно сносят следующую цифру или забывают её сносить. В итоге вместо нового неполного делимого получается другое число, и дальнейшие действия уже не относятся к исходному делимому. Ошибка часто возникает из-за спешки при переходе от вычитания к следующему шагу. Сверь каждую снесённую цифру с записью делимого и отмечай, какие цифры уже использованы.

Пропускают ноль в частном, если очередное неполное делимое меньше делителя, или записывают цифры частного не в тех разрядах. Из-за этого частное меняет значение, даже если остальные умножения выполнены верно. Причина — забытая связь между очередной цифрой делимого и местом цифры частного. Проверь, что для каждого шага отведён свой разряд, а при делении меньше делителя на этом месте стоит 0.

Связь с другими темами

Для письменного деления на двузначное число нужны навыки деления многозначных чисел на однозначное, умножения и вычитания. Разрядный состав чисел помогает определить место первой цифры частного и не перепутать порядок цифр. Оценка произведения помогает быстро выбрать пробную цифру, а точная проверка подтверждает её. Этот алгоритм пригодится при делении на многозначные числа и решении задач с большими числами.

Что запомнить

• Первое неполное делимое выбирают так, чтобы оно было не меньше делителя.
• Цифру частного проверяют умножением на делитель.
• Произведение на каждом шаге не должно превышать неполное делимое.
• После вычитания остатка сносят следующую цифру делимого.
• Цифры частного записывают в соответствии с разрядами делимого.
• Если очередное неполное делимое меньше делителя, в частном может понадобиться ноль.
• Правильность деления проверяют умножением частного на делитель.