"Математика (в 3-х частях)", Демидова Т.Е., Козлова С.А., Тонких А.П.
Решение текстовой задачи — это путь от её условия к ответу, который подходит по смыслу. Чтобы пройти этот путь, нужно выделить известные данные и искомую величину, установить связи между ними и выбрать способ вычислений. Помогают краткая запись, таблица, схема, выражение или уравнение. После вычислений результат проверяют по условию и записывают с названием величины и единицами измерения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Математическая модель — запись ситуации с помощью схемы, таблицы, выражения или уравнения. Например, краткая запись показывает числа и вопрос задачи, а схема помогает увидеть, как связаны величины. Модель нужна, чтобы отделить важные данные от лишних слов и понять, какие действия приведут к ответу.
Неизвестная величина — величина, значение которой требуется найти. Её обозначают буквой, например x, и рядом поясняют, что именно она означает: x — число карандашей в первой коробке. Если величина измеряется, указывают единицу: например, x рублей или x метров. Такое пояснение помогает не спутать искомое с другими числами в условии.
Уравнение — равенство с неизвестным, составленное по условию задачи. Если x обозначает искомое число, равенство должно передавать связь между величинами из текста, а не быть произвольным. Корень уравнения — значение неизвестного, при котором равенство верно. Но корень подходит для задачи только тогда, когда он соответствует искомой величине и смыслу условия.
Проверка решения — сопоставление полученного ответа с условием задачи. Можно подставить найденное число в уравнение или проверить, выполняются ли все связи из текста. Проверка нужна потому, что уравнение можно решить верно, но составить его не по той величине или получить значение, которое невозможно по смыслу задачи.
Решение начинается с внимательного чтения условия, потому что отдельные числа сами по себе ещё не говорят, какое действие нужно выполнить. Выясни, что известно, что требуется найти и какие величины названы в тексте. Обрати внимание на слова, описывающие связь: «осталось», «всего», «на столько-то больше», «в несколько раз». Полезно пересказать задачу своими словами и проверить, можешь ли ты назвать искомую величину.
Краткая запись, таблица или схема упорядочивают данные, чтобы их было легче сравнивать. Например, в задаче о двух коробках можно отдельно записать общее количество карандашей и то, на сколько количество во второй коробке больше. Такая запись показывает, где известна сумма, а где — разность. Благодаря этому проще увидеть, какая связь потребуется для вычислений, и не потерять единицы измерения.
Способ решения выбирают по выявленным связям, а не только по числам в условии. Если задача описывает последовательные изменения или известны цена и количество, её часто удобно решить действиями. Если неизвестная величина входит в несколько связей, можно составить выражение или уравнение. Выбранный способ должен помогать ответить именно на вопрос задачи, а не просто дать какое-нибудь вычисляемое число.
При составлении уравнения сначала объясни, что обозначает неизвестное, а затем вырази через него остальные нужные величины. После этого запиши равенство, которое следует из условия: например, сумма частей должна равняться общему количеству. Такое пояснение позволяет проверить, не перепутаны ли части и целое и верно ли учтено, какая величина больше. Если равенство нельзя объяснить словами задачи, его нужно составить заново.
После вычислений проверь, подходит ли результат по смыслу: количество предметов не бывает отрицательным, а искомое должно отвечать заданному вопросу. При необходимости подставь значения в исходное уравнение или вычисли по ним величину, указанную в условии. Затем запиши ответ целиком, назвав величину и добавив единицы измерения. Так читатель поймёт не только число, но и то, что именно найдено.
| Этап | Что сделать | Что проверить |
|---|---|---|
| Понять условие | Прочитать задачу и выяснить, о каких величинах в ней говорится. | Понятен ли вопрос и значение каждого числа? |
| Выделить данные и искомое | Записать известные величины и обозначить то, что требуется найти. | Не пропущены ли данные и указаны ли единицы? |
| Представить связи между величинами | Сделать краткую запись, таблицу или схему. | Отражены ли в записи все отношения из условия? |
| Выбрать способ и выполнить вычисления | Решить задачу действиями или составить уравнение. | Следует ли каждый шаг из условия? |
| Проверить результат и записать ответ | Сопоставить результат с условием и сформулировать ответ. | Подходит ли число по смыслу и отвечает ли на вопрос? |
Пользуйся таблицей как последовательностью шагов: переходи дальше, когда можешь объяснить, что сделал на текущем этапе. Если при проверке обнаружилась ошибка, вернись к тому месту, где связь между величинами была записана неверно. Такая проверка помогает найти причину, а не просто повторить вычисления.
В коробке было 18 карандашей. 7 карандашей взяли. Сколько осталось? В условии известны первоначальное количество и число взятых карандашей, а вопрос относится к оставшимся. Количество уменьшилось, поэтому нужно вычесть взятые карандаши из тех, что были сначала.
Ответ: осталось 11 карандашей.
За 4 одинаковые тетради заплатили 240 рублей. Сколько стоят 7 таких тетрадей? Сначала нужно узнать цену одной тетради: без неё нельзя определить стоимость другого количества. Поскольку тетради одинаковые, общую стоимость 240 рублей делим поровну на 4. Затем цену одной тетради умножаем на 7.
Ответ: 7 тетрадей стоят 420 рублей.
В двух коробках 46 карандашей. Во второй на 8 карандашей больше, чем в первой. Сколько карандашей в каждой коробке? Неизвестны оба количества, но их можно связать: если в первой x карандашей, то во второй x + 8. Вместе они дают 46 карандашей, поэтому сумма двух выражений должна равняться 46.
Ответ: в первой коробке 19 карандашей, во второй — 27 карандашей.
Начинать вычисления, не выяснив, что именно требуется найти. Так можно получить верное промежуточное число, которое не отвечает на вопрос; это часто происходит, когда внимание сразу цепляется за числа. Перед вычислениями сформулируй искомую величину, а в конце проверь, отвечает ли результат именно на вопрос задачи.
Составлять уравнение без пояснения неизвестного и связи между величинами. Тогда равенство может выглядеть правдоподобно, но не отражать условие; обычно так происходит, когда числа просто соединяют знаками действий. Запиши словами, что означает буква, и объясни, что выражают обе части уравнения.
Игнорировать единицы измерения и смысл величин. Из-за этого можно смешать количество предметов и их стоимость или сравнить величины, измеренные по-разному; ошибка возникает, если записывать только числа. Указывай единицы в краткой записи и проверяй, что в ответе названа нужная величина.
Записывать ответ сразу после решения уравнения, не проверив его по условию. Найденный корень может относиться к другой величине или не подходить задаче; это случается, если считать решение уравнения достаточной проверкой. Подставь значение в условие, проверь все отношения и убедись, что число отвечает на заданный вопрос.
Для решения задач нужны арифметические действия, порядок их выполнения и умение работать с буквенными выражениями. Если выбран способ с уравнением, пригодятся свойства равенств и навыки решения уравнений. Эти знания помогают не только найти число, но и объяснить, почему вычисления соответствуют условию.
Приёмы моделирования и проверки применяются во многих разделах математики. Они понадобятся при задачах на проценты, отношения и движение, где важно правильно связать несколько величин. Привычка пояснять неизвестное и проверять ответ помогает разбирать и новые прикладные ситуации.
С чего начинать решение текстовой задачи?
Сначала прочитай условие и выясни, какие величины известны, что требуется найти и как величины связаны. Затем выбери удобную краткую запись, таблицу или схему.
Когда удобнее составить уравнение, а когда — решить задачу действиями?
Действия удобны, когда связь между величинами легко описать последовательными вычислениями. Уравнение полезно, если неизвестная величина участвует в связи, которую сложно выразить сразу, например когда нужно найти две связанные части.
Зачем делать краткую запись или чертёж?
Краткая запись и чертёж помогают разложить условие по величинам и не потерять важные данные. По ним легче увидеть, какие величины известны и какое действие или уравнение связывает их с искомым.
Как понять, что уравнение составлено правильно?
Проверь, что ты пояснил, что обозначает неизвестное, а обе части равенства описывают одну и ту же величину или условие. Подстановка найденного значения должна приводить к верному равенству и согласовываться с текстом задачи.
Что именно нужно проверять после вычислений?
Убедись, что результат отвечает на вопрос, имеет подходящие единицы и возможен по смыслу. При необходимости подставь найденные значения в исходное условие и проверь, что все связи выполняются.
2.71. Решение задач
