Среднее арифметическое

Определения и обозначения

Среднее арифметическое двух чисел — это число, равное их сумме, делённой на 2. Для чисел a и b его записывают так: (a + b) : 2. Смысл формулы в том, что общую сумму распределяют поровну между двумя числами, поэтому такое значение удобно использовать для сравнения.

Среднее арифметическое нескольких чисел — это сумма всех чисел, делённая на их количество. Если даны a₁, a₂, ..., aₙ, то среднее равно (a₁ + a₂ + ... + aₙ) : n. Каждое число учитывается один раз, а n показывает, сколько всего значений вошло в набор.

Среднее арифметическое набора данных — одно число, которым можно охарактеризовать значения этого набора. Оно связано с общей суммой: если среднее умножить на количество значений, получится их сумма. Поэтому среднее позволяет кратко описать много данных и выполнять обратные вычисления.

Как это устроено

Рассмотрим числа 8 и 12. Их сумма равна 20, а если разделить её поровну между двумя слагаемыми, получим 20 : 2 = 10. Значит, 10 — среднее арифметическое чисел 8 и 12: оно показывает, сколько пришлось бы на каждое число при равном распределении общей суммы.

Для нескольких чисел сначала находят общую сумму, потому что нужно учесть вклад каждого значения. Затем сумму делят на количество чисел: именно столько равных долей получится при распределении всей суммы. Например, для 3, 5 и 7 сумма равна 15, а среднее равно 15 : 3 = 5.

Среднее можно представить как замену всех данных одинаковыми значениями. Если заменить каждое число средним, общая сумма не изменится, потому что среднее умножается на количество значений. Например, у чисел 4, 6 и 8 сумма 18, а три одинаковых значения 6 тоже дают сумму 18.

Из этой связи получается обратное правило. Если известны среднее арифметическое и количество чисел, среднее умножают на количество: сумма = среднее · количество. Например, при среднем 9 для четырёх чисел их сумма равна 9 · 4 = 36.

Среднее арифметическое не обязано совпадать с одним из исходных чисел. У чисел 8 и 12 среднее равно 10, хотя 10 в набор не входит. Также среднее может быть нецелым: для 2, 3 и 4 оно равно 9 : 3 = 3, а для 2 и 3 — 5 : 2 = 2,5.

Среднее арифметическое: вычисление и применение

Сначала найдите в условии, какие величины известны: сами числа, их среднее или количество значений. Затем выберите действие из соответствующей строки таблицы. После вычисления проверьте единицы измерения и убедитесь, что делитель равен количеству всех данных.

Разбор задач

Задача 1

Найдите среднее арифметическое чисел 8 и 12. Даны два значения, поэтому их общую сумму нужно разделить на 2. Ответ должен быть записан одним числом.

1. Сложим числа: 8 + 12 = 20.
2. Разделим сумму на количество чисел: 20 : 2 = 10.
3. Проверим смысл результата: 10 находится между 8 и 12, значит, равное распределение суммы выглядит правдоподобно.

Ответ: 10.

Задача 2

За три дня ученик прочитал 18, 24 и 21 страницу. Требуется узнать, сколько страниц в среднем он читал за один день. Единица измерения сохранится, поэтому ответ будет дан в страницах за день.

1. Найдём общее количество прочитанных страниц: 18 + 24 + 21 = 63.
2. Разделим сумму на три дня: 63 : 3 = 21.
3. Запишем единицу измерения, поскольку речь идёт о количестве страниц за день.

Ответ: в среднем 21 страницу за день.

Задача 3

Среднее арифметическое пяти чисел равно 14, а четыре числа равны 10, 12, 15 и 18. Нужно найти пятое число. Сначала восстановим сумму всех пяти чисел, затем вычтем из неё сумму известных чисел.

1. Найдём общую сумму пяти чисел: 14 · 5 = 70.
2. Сложим четыре известных числа: 10 + 12 + 15 + 18 = 55.
3. Вычтем известную сумму из общей: 70 − 55 = 15.

Ответ: пятое число равно 15. Проверка: сумма 10 + 12 + 15 + 18 + 15 = 70, а 70 : 5 = 14.

Типичные ошибки

Иногда сумму делят на число слагаемых минус один. Так бывает, если забывают, что количество чисел нужно считать полностью, включая первое и последнее значение. Проверьте себя: пересчитайте числа в условии и используйте именно это количество.

Другая ошибка — пропустить одно число при сложении. Из-за этого меняются и сумма, и среднее арифметическое. Полезно записать значения в строку и отметить каждое после включения в сумму.

Нельзя всегда находить среднее как полусумму двух крайних значений. Такой способ подходит, например, для двух чисел или некоторых равномерных наборов, но не для любого набора данных. Надёжная проверка — сложить все числа и разделить сумму на их количество.

Преждевременное округление может изменить итоговый ответ. Особенно заметна ошибка, если округлённое число затем умножают или используют в следующих действиях. Сохраняйте точные дроби или больше знаков до последнего шага, если условие не требует округления.

Связь с другими темами

Для вычисления среднего нужно уметь складывать и делить натуральные числа, десятичные дроби и величины с единицами измерения. Единицы всех складываемых данных должны быть одинаковыми. Например, расстояния сначала переводят в одну и ту же единицу.

Среднее арифметическое применяют при обработке результатов измерений, оценок и других наборов данных. Оно помогает получить обобщённое значение, когда отдельные результаты отличаются. При этом среднее описывает набор в целом, а не заменяет сведения о каждом числе.

Тема связана с нахождением суммы по известным среднему и количеству значений. Если среднее показывает одну равную долю, то умножение на число долей восстанавливает общую сумму. Это правило часто используется в текстовых задачах.

Что запомнить

• Чтобы найти среднее арифметическое, сложи все числа.
• Раздели сумму на количество слагаемых.
• Каждое значение набора учитывается один раз.
• Среднее арифметическое характеризует весь набор чисел.
• По среднему и количеству чисел можно восстановить их сумму.
• Среднее арифметическое не обязательно является одним из исходных чисел.