"Математика (в 2 частях)", Дорофеев Г.В., Миракова Т.Н., Бука Т.Б.
Окружность — замкнутая линия, точки которой одинаково удалены от центра, а круг — вся часть плоскости внутри этой линии вместе с ней. Чтобы описывать и строить эти фигуры, используют радиус и диаметр: радиус соединяет центр с окружностью, а диаметр проходит через центр и состоит из двух радиусов. Эти понятия помогают сравнивать расстояния, строить фигуры циркулем и решать геометрические задачи.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Окружность — замкнутая линия, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от одной точки. Эту точку называют центром и обычно обозначают O, а общее расстояние — радиусом r. Центр и радиус задают окружность: если изменить центр или длину радиуса, получится другая окружность.
Круг — часть плоскости, ограниченная окружностью, вместе с самой окружностью. Окружность — это только граница, а круг включает и границу, и всё пространство внутри неё. Различие помогает точно описывать, например, линию на ободе и всю область, которую этот обод ограничивает.
Радиус — отрезок, соединяющий центр окружности с любой её точкой; обычно его обозначают буквой r. Например, если A лежит на окружности с центром O, то OA — радиус. Все радиусы одной окружности равны, потому что каждый из них соединяет центр с точкой, удалённой от него на одно и то же расстояние.
Диаметр — хорда, проходящая через центр окружности; хорда — отрезок между двумя точками окружности. Диаметр обычно обозначают d. Он состоит из двух радиусов, поэтому его длина вдвое больше радиуса: d = 2r.
Представь точку O и все точки, отстоящие от неё, например, на 3 см. Если отмечать такие точки в разных направлениях, они лягут на одну замкнутую линию: ни одна из них не окажется ближе или дальше от O. Эта линия и есть окружность. Поэтому её положение определяют центр, а размер — длина радиуса: при том же центре больший радиус даёт большую окружность.
На чертеже окружность можно изобразить одной тонкой линией, а круг — той же линией и всей областью внутри неё. Например, если провести границу круглого поля, эта граница соответствует окружности, а поле целиком — кругу. Различать их нужно потому, что точка может находиться внутри области, не лежа на её границе.
Отрезки от центра до разных точек окружности равны: каждое такое расстояние по определению равно радиусу. Если точка находится внутри круга, её расстояние до центра меньше радиуса; если на границе — равно ему. Значит, отрезок от центра до точки внутри круга не длиннее радиуса, но радиусом называют только отрезок, конец которого лежит на окружности.
Диаметр проходит через центр, поэтому делится им на две части. Каждая часть соединяет центр с точкой окружности и потому является радиусом; две такие равные части составляют весь диаметр. Отсюда следует правило d = 2r, а чтобы найти радиус, диаметр делят на 2.
Чтобы построить окружность заданного радиуса, поставь иглу циркуля в выбранный центр и раздвинь ножки на нужную длину. Не меняя раскрытия, поверни циркуль вокруг иглы: карандаш проведёт все точки на одинаковом расстоянии от центра. Проверить положение точки можно измерением расстояния до центра: сравни его с радиусом. Равное расстояние означает, что точка лежит на окружности; меньшее — что она внутри круга, большее — что вне круга.
| Понятие | Что обозначает | Как определяется | Основное свойство |
|---|---|---|---|
| Окружность | Замкнутую линию | Точки на одинаковом расстоянии от центра | Все её точки равноудалены от центра |
| Круг | Область вместе с границей | Часть плоскости, ограниченную окружностью | Включает внутреннюю область и окружность |
| Радиус | Отрезок от центра до окружности | Соединяет центр с точкой окружности | Радиусы одной окружности равны |
| Диаметр | Отрезок между точками окружности через центр | Является хордой, проходящей через центр | d = 2r |
В таблице сначала найди понятие, которое нужно уточнить, затем сравни его определение и свойство. Так легче не смешивать окружность с кругом, а радиус — с диаметром. Формулу d = 2r можно использовать, когда известен радиус и требуется найти диаметр.
В каждой задаче сначала определим, какие элементы фигуры заданы и что требуется найти. Затем применим определение или свойство и запишем результат с единицами измерения. Такой порядок помогает увидеть, почему выбран именно этот способ решения.
Начертите окружность с центром O и радиусом 3 см. Отметьте на ней точку A и проведите отрезок OA.
Ответ: построена окружность с центром O и радиусом 3 см; OA — её радиус.
Радиус круга равен 4 см. Найдите длину его диаметра.
Ответ: диаметр равен 8 см.
Точка P находится на расстоянии 5 см от центра O. Определите, где она расположена, если радиус круга равен 6 см.
Ответ: точка P находится внутри круга, но не на окружности.
Окружностью иногда называют всю область внутри линии. Так происходит потому, что в обычной речи «круг» и «окружность» могут звучать похоже, но в геометрии это разные понятия. Проверь себя: окружность можно проследить как границу, а круг включает ещё и точки внутри неё.
Не каждый отрезок внутри круга является радиусом. Ошибка возникает, если ориентироваться только на то, что отрезок нарисован в круге, не проверяя его концы. У радиуса один конец обязательно находится в центре, а другой — на окружности.
Радиус и диаметр нельзя считать одним и тем же отрезком. Их путают, когда забывают проверить, проходит ли отрезок через центр и сколько радиусов в нём содержится. Проверь себя: диаметр проходит через центр и равен двум радиусам, а радиус составляет половину диаметра.
Точка на окружности не находится вне круга и не исключается из него. Иногда границу мысленно отделяют от внутренней области, но круг включает обе части. Чтобы проверить ответ, вспомни: расстояние от центра до точки на границе равно радиусу, а сама граница входит в круг.
Для изучения окружности понадобятся понятия точки, отрезка и прямой, а также умение измерять длину отрезка. Они нужны, чтобы обозначать центр, проводить радиусы и сравнивать расстояния до разных точек. Измерения циркулем и линейкой помогают выполнять построения точно.
Радиус и диаметр пригодятся при дальнейшем изучении длины окружности и площади круга. Умение различать круг и окружность также помогает решать геометрические задачи: сначала нужно понять, идёт ли речь о границе или обо всей области. Связь d = 2r позволяет переходить от диаметра к радиусу и обратно.
Чем окружность отличается от круга?
Окружность — только замкнутая линия, все точки которой равноудалены от центра. Круг включает и эту линию, и всю область внутри неё.
Почему у одной окружности все радиусы одинаковы?
По определению каждая точка окружности находится на одном и том же расстоянии от центра. Радиус измеряет именно это расстояние, поэтому радиусы одной окружности равны.
Может ли диаметр не проходить через центр?
Нет. Диаметр — это хорда, которая проходит через центр, поэтому отрезок, не проходящий через него, диаметром не является.
Как найти диаметр, если известен радиус?
Нужно умножить радиус на 2: d = 2r. Например, если радиус равен 4 см, диаметр равен 8 см.
Входит ли граница в круг?
Да. Круг — часть плоскости, ограниченная окружностью, вместе с самой окружностью, поэтому его граница входит в круг.
Окружность и круг
