"Математика в 3-х частях (изд. «Ювента»)", Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г.
Среднее арифметическое показывает, какое одинаковое значение пришлось бы на каждый объект, если общую сумму распределить поровну. Чтобы его найти, складывают все числа и делят полученную сумму на количество чисел. Повторяющиеся значения учитываются столько раз, сколько встречаются. Среднее помогает сравнивать результаты измерений, оценки, температуры и другие данные.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Среднее арифметическое нескольких чисел — это сумма этих чисел, делённая на их количество. Например, для чисел 4, 7 и 10 получаем (4 + 7 + 10) : 3. Такое число показывает общий результат после равного распределения суммы.
Количество чисел — это число всех слагаемых, а не число различных значений. В наборе 5, 5, 8 три числа, хотя различных значений только два. Это правило нужно, чтобы каждое наблюдение имело одинаковое влияние на результат.
Смысл среднего арифметического можно представить как деление общей суммы поровну между объектами. Если у трёх учеников вместе 12 карандашей, то в среднем на каждого приходится 12 : 3 = 4 карандаша. Среднее не обязательно совпадает с одним из исходных чисел.
Сначала складывают все значения, потому что нужно узнать общий запас или общий результат. Затем сумму делят на количество чисел: это означает, что найденное целое распределяют между всеми объектами поровну. Например, 2, 4 и 6 вместе дают 12, а 12 : 3 = 4, поэтому среднее равно 4.
Среднее арифметическое не может быть меньше наименьшего или больше наибольшего числа. Если бы оно оказалось больше максимального значения, то равная доля каждого объекта превышала бы весь исходный максимум, что невозможно при распределении суммы. Поэтому для чисел от 5 до 12 среднее обязательно находится от 5 до 12 включительно.
Из формулы можно найти не только среднее, но и общую сумму. Если среднее равно m, а чисел n, то S = m · n. Например, среднее пяти чисел равно 7, значит, их сумма равна 7 · 5 = 35.
Неизвестное значение восстанавливают через общую сумму. Сначала умножают известное среднее на количество всех чисел, а затем вычитают сумму известных значений. Такой способ работает, потому что общая сумма складывается из всех известных чисел и неизвестного.
При сравнении средних нужно учитывать весь набор и его размер. Одинаковое среднее может получиться у наборов с разными числами, а небольшая группа иногда даёт такой же результат, как большая. Поэтому сравнивают не отдельные понравившиеся значения, а средние, найденные по всем данным.
| Что известно | Как найти или записать | Что означает |
|---|---|---|
| Среднее арифметическое чисел a₁, a₂, …, aₙ | m = (a₁ + a₂ + … + aₙ) : n | Сумма всех чисел разделена поровну между n объектами |
| Количество чисел | n | Число всех слагаемых, включая повторяющиеся |
| Сумма чисел через их среднее | S = m · n | Общее количество всех единиц измерения |
| Положение среднего относительно исходных чисел | наименьшее ≤ m ≤ наибольшее | Среднее не выходит за границы набора |
Сначала определите, что именно дано: все числа, их среднее или количество. Затем выберите нужную запись из таблицы и проверьте единицы измерения. После вычисления сравните ответ с наименьшим и наибольшим значениями.
Условие: Найди среднее арифметическое чисел 4, 7 и 10.
Ответ: 7.
Условие: За пять дней температура была 12, 14, 11, 15 и 13 °C. Найди среднюю температуру.
Ответ: 13 °C.
Условие: Среднее арифметическое шести чисел равно 8. Пять чисел — 5, 7, 9, 10 и 6. Найди шестое число.
Ответ: 11.
Делить на число различных значений. В наборе с повторениями так теряются некоторые наблюдения: например, 4, 4, 8 — это три числа. Пересчитайте все слагаемые, включая одинаковые.
Учитывать только крайние значения. Среднее находят по всему набору, а не только по минимальному и максимальному числам. Проверьте, что в сумму попало каждое данное значение.
Получать среднее вне границ набора. Если ответ меньше минимума или больше максимума, почти наверняка допущена ошибка в сложении или делении. Сравните результат с крайними значениями.
Смешивать разные единицы измерения. Нельзя складывать, например, метры и сантиметры без перевода. Приведите все данные к одной единице, а затем выполняйте вычисления.
Для нахождения среднего арифметического нужно уметь складывать и делить натуральные числа и десятичные дроби. Также важно правильно считать количество слагаемых, особенно когда некоторые значения повторяются.
Среднее арифметическое используют при анализе измерений и статистических данных: температур, оценок, результатов наблюдений. Позже оно поможет решать задачи на разные средние величины.
Почему среднее арифметическое нужно делить именно на количество чисел?
Потому что общую сумму мысленно распределяют поровну между всеми числами набора. Количество чисел показывает, на сколько равных частей нужно разделить сумму.
Что делать, если некоторые числа повторяются?
Каждое повторение нужно учитывать отдельно. Например, в наборе 3, 3, 5 три числа, поэтому сумму делят на 3, а не на 2 различных значения.
Может ли среднее арифметическое быть больше всех чисел в наборе?
Нет, не может. Среднее арифметическое всегда находится между наименьшим и наибольшим числами набора.
Как найти неизвестное число, если известно среднее арифметическое?
Сначала умножьте среднее арифметическое на количество всех чисел и получите их общую сумму. Затем вычтите из неё сумму известных чисел.
Можно ли находить среднее арифметическое у величин, записанных в разных единицах?
Сначала все величины нужно перевести в одну единицу измерения. Только после этого можно складывать значения и находить среднее.
3. Среднее арифметическое
